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问题及解答

证明 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x) < x$, $x > 0$.

Posted by haifeng on 2014-11-04 15:08:02 last update 2014-11-04 15:20:27 | Edit | Answers (1)

证明 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x$, $x>0$

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Posted by haifeng on 2014-11-04 15:16:48

设 $f(x)=x-\ln(1+x)$,

显然 $f(0)=0$. 其次, 当 $x>0$ 时,

\[f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0,\]

即 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是严格单调递增的. 不仅如此, 我们还可以证明 $f(x)>0$.

事实上, 对任意 $x>0$, 存在 $\xi\in(0,x)$, 使得

\[
f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)>0.
\]

所以 $x>\ln(1+x)$.


另一方面是类似的,

\[g(x)=\ln(1+x)-(x-\frac{x^2}{2})\]

显然 $g(0)=0$, 且对任意 $x>0$ 有

\[
g'(x)=\frac{1}{1+x}-(1-x)=\frac{x^2}{1+x}>0
\]

对任意 $x>0$, 存在 $\xi\in(0,x)$, 使得

\[
g(x)-g(0)=g'(\xi)(x-0)>0.
\]

所以 $\ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}$.