证明 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x) < x$, $x > 0$.
证明 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x$, $x>0$
证明 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x$, $x>0$
1
设 $f(x)=x-\ln(1+x)$,
显然 $f(0)=0$. 其次, 当 $x>0$ 时,
\[f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0,\]
即 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是严格单调递增的. 不仅如此, 我们还可以证明 $f(x)>0$.
事实上, 对任意 $x>0$, 存在 $\xi\in(0,x)$, 使得
\[
f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)>0.
\]
所以 $x>\ln(1+x)$.
另一方面是类似的,
设
\[g(x)=\ln(1+x)-(x-\frac{x^2}{2})\]
显然 $g(0)=0$, 且对任意 $x>0$ 有
\[
g'(x)=\frac{1}{1+x}-(1-x)=\frac{x^2}{1+x}>0
\]
对任意 $x>0$, 存在 $\xi\in(0,x)$, 使得
\[
g(x)-g(0)=g'(\xi)(x-0)>0.
\]
所以 $\ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}$.