问题及解答

设 $x_1,x_2,\ldots,x_n\in[0,1]$. 证明, 存在 $t_0\in[0,1]$, 使得

\[
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|t_0-x_i|=\frac{1}{2}.
\]

令

\[f(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x-x_i|,\]

则由于 $0\leqslant |x-x_i|\leqslant 1$, 故 $0\leqslant f(x)\leqslant 1$.

注意到

\[f(0)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|0-x_i|=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\bar{x},\]

这里 $\bar{x}$ 是 $\{x_i\}$ 的平均值. 如果 $\bar{x}=\frac{1}{2}$, 则就取 $t_0=0$. 否则不妨设 $\bar{x}<\frac{1}{2}$.

此时

\[f(1)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|1-x_i|=1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=1-\bar{x}>\frac{1}{2},\]

而函数 $f(x)$ 是连续函数, 因此存在一点 $x=t_0$, 使得 $f(t_0)=\frac{1}{2}$.