问题及解答

求 $f(t)=\frac{1}{1-t}+\frac{2}{t}$ 的最小值, 这里 $t\in(0,1)$.

Question:  能否用初等方法做?

设 $a=1-t$, $b=t$, 则 $a+b=1$, 且 $a,b$ 均大于零.

从而

\[f=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(a+b)=3+\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}\geqslant 3+2\sqrt{2}.\]