问题及解答

Jensen 不等式

设 $\varphi$ 是 $[\alpha,\beta]$ 上的凸函数, $f(x),p(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\alpha\leqslant f(x)\leqslant\beta$, $p(x)\geqslant 0$, $x\in[a,b]$. 并且 $\int_a^b p(x)\mathrm{d}x > 0$, 则

\[
\varphi\biggl(\frac{\int_a^b p(x)f(x)\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}\biggr)\leqslant\frac{\int_a^b p(x)\varphi(f(x))\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}.
\]