研究函数
\[
z=f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
在 $(0,0)$ 处的全微分是否存在.
类似的也可以考虑函数
\[
z=f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^2+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
它在 $(0,0)$ 处也是不可微的.
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$|f(x,y)|\leqslant\frac{1}{2}$. 特别的, 当 $y=kx^2$ 时,
\[
f(x,kx^2)=\frac{kx^4}{(1+k^2)x^4}=\frac{k}{1+k^2}.
\]
这导出 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x,kx^2)=\frac{k}{1+k^2}$, 这与 $k$ 的取值有关. 因此 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续.
不过可以证明 $f'_x(0,0)=f'_y(0,0)=0$. 事实上,
\[
f'_x(0,0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{0}{x^4}}{x}=0,
\]
\[
f'_y(0,0)=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(0,y)}{y}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{0}{y^2}}{y}=0.
\]
若 $u=(u_1,u_2)$ 是单位向量, 且 $u\neq e_1$ 或 $e_2$, 则
\[
\frac{\partial f}{\partial u}(0,0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(tu_1,tu_2)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^3u_1^2u_2}{t^3(t^2u_1^4+u_2^2)}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{u_1^2u_2}{t^2u_1^4+u_2^2}=\frac{u_1^2}{u_2}.
\]
假设 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微, 则
\[
\Bigl\|f(x.y)-\big(f(0,0)+A\cdot((x,y)-(0,0))\bigr)\Bigr\|=o(\|(x,y)-(0,0)\|),
\]
这里 $A=(f'_x(0,0),f'_y(0,0))=(0,0)$. 因此, 等价于
\[
|f(x,y)|=o(\sqrt{x^2+y^2}).
\]
而若令 $y=kx^2$, 则有
\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,kx^2)}{o(\sqrt{x^2+y^2})}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{kx^4}{x^4(1+k^2)\sqrt{x^2+k^2x^4}}=\infty.
\]
因此, $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微. 即全微分不存在.