问题及解答

设 $f,g\in C[a,b]$, 且点列 $x_n\in[a,b]$ 满足

\[f(x_{n+1})=g(x_n),\quad n\in\mathbb{N}^*\]

证明: 必有一点 $x_0\in[a,b]$, 使得 $f(x_0)=g(x_0)$.

$\{x_n\}\subset[a,b]$, 因此存在子列 $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ 收敛, 不妨设 $x_{n_k}\rightarrow x_{00}$, ($k\rightarrow +\infty$).

由于 $g$ 连续, 因此

\[\lim_{k\rightarrow\infty}g(x_{n_k})=g(x_{00}).\]

从而

\[\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k+1})=\lim_{k\rightarrow\infty}g(x_{n_k})=g(x_{00})\]

由于 $f$ 连续, 故极限 $\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k+1}$ 存在. 不妨设 $\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k+1}=x_{01}$.

类似的, 对于该子列 $\{x_{n_k+1}\}$, 有

\[\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k+2})=\lim_{k\rightarrow\infty}g(x_{n_k+1})=g(x_{01})\]

我们有极限 $\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k+2}$ 存在, 不妨设 $\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k+2}=x_{02}$.

从而得到了点列 $\{x_{0k}\}_{k=1}^{\infty}$, 由于在有界区间 $[a,b]$, 故存在子列收敛. 在这里我们不妨设

\[\lim_{k\rightarrow\infty}x_{0k}=x_0.\]

利用对角线取子列的方法不难证明 $f(x_0)=g(x_0)$.

这里对角线取子列的方法十分常用.

\[
\begin{matrix}
x_{n_1}, & x_{n_2}, & x_{n_3}, & \cdots & \rightarrow & x_{00},\\
x_{n_1+1}, & x_{n_2+1}, & x_{n_3+1}, & \cdots & \rightarrow & x_{01},\\
x_{n_1+2}, & x_{n_2+2}, & x_{n_3+2}, & \cdots & \rightarrow & x_{02},\\
\vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots\\
x_{n_1+k}, & x_{n_2+k}, & x_{n_3+k}, & \cdots & \rightarrow & x_{0k},\\
\vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots\\
\end{matrix}
\]

取对角线子列 $\{x_{n_1},x_{n_2+1},x_{n_3+2},\cdots, x_{n_k+k-1}\}$, 不难用定义证明:

\[\lim_{k\rightarrow\infty} x_{n_k+k-1}=x_0,\quad\lim_{k\rightarrow\infty} x_{n_k+k}=x_0.\]

因此,

\[f(x_0)=f(\lim_{k\rightarrow\infty} x_{n_k+k})=\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k+k})=\lim_{k\rightarrow\infty}g(x_{n_k+k-1})=g(\lim_{k\rightarrow\infty} x_{n_k+k-1})=g(x_0).\]