设 $f\in C^2[0,+\infty)$, $f > 0$ 且
\[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0.\]
证明: $f$ 限制在任何区间 $[M,+\infty)$ 上都不是凹函数, 这里 $M>0$.
Cor. 存在点列 $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$, $(x_i < x_{i+1})$, 且 $x_n\rightarrow+\infty$, 使得 $f''(x_i)\geqslant 0$, $i=1,2,\ldots,n,\ldots$.
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由于 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$ 且 $f > 0$, 所以存在点列 $0<x_1 < x_2 < \cdots< x_n <\cdots$, 使得当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $y_n=f(x_n)\searrow 0$.
记 $P_i=(x_i,y_i)$, $\ell_i$ 是连接 $P_1$ 和 $P_i$ 的直线. 易见 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}k_{\ell_n}=0$. 这里 $k_{\ell_n}$ 是指直线 $\ell_n$ 的斜率.
假设存在某个 $M>0$, 使得 $f|_{[M,+\infty)}$ 是凹函数. 不妨就假设 $x_1>M$. 由函数的凹性, 可知 $x_2,\ldots,x_{n-1}$ 位于直线 $\ell_n$ 之上. 从而
\[
0 > k_{\ell_{i-1}} > k_{\ell_i}
\]
这与 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}k_{\ell_n}=0$ 矛盾.