证明: 可导的奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数.
设 $f(x)$ 是奇函数, 且可导. 证明 $g(x)=f'(x)$ 是偶函数.
Hint:
对 $f(-x)=-f(x)$ 两边求导, 得
\[
f'(-x)\cdot(-1)=-f'(x),
\]
而 $g(-x)=f'(-x)$, 因此
\[
g(-x)=f'(-x)=f'(x)=g(x).
\]
Answer
设 $f(x)$ 是奇函数, 且可导. 证明 $g(x)=f'(x)$ 是偶函数.
Hint:
对 $f(-x)=-f(x)$ 两边求导, 得
\[
f'(-x)\cdot(-1)=-f'(x),
\]
而 $g(-x)=f'(-x)$, 因此
\[
g(-x)=f'(-x)=f'(x)=g(x).
\]