即证明

\[[na]=[a]+[a+\frac{1}{n}]+[a+\frac{2}{n}]+\cdots+[a+\frac{n-1}{n}]\]

设 $n$ 是正整数, $x$ 是实数, 证明: $\Bigl[\frac{[nx]}{n}\Bigr]=[x]$.

Hint: 如果 $x$ 是有理数, 则也可以利用下面的性质:

\[
\Bigl[\frac{[\frac{m}{a}]}{b}\Bigr]=\bigl[\frac{m}{ab}\bigr].
\]

求 $30!$ 的标准分解式. 应用

\[n!=\prod_{p\leq n}p^{\sum_{r=1}^{+\infty}\bigl[\frac{n}{p^r}\bigr]}\]

其中 $p$ 是素数. (参见问题197)

使用 Magma 或 GAP 计算 $30!$ 的标准分解式.

$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

我们知道

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=+\infty\]

这称为调和级数. 其前 $n$ 项和 $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\log n+\gamma+O(\frac{1}{n})$.

参见问题678

\[\bigl(\pi(2n)-\pi(n)\bigr)\log n\leq\log a_n\leq\pi(2n)\log 2n\]

\[n\log 2<2n\log2-\log(2n)\leq\log a_n\leq 2n\log 2\]

当 $n$ 充分大时, 有

\[n\log 2<2n\log2-\frac{1}{2}\log(2n)\leq\log a_n\leq 2n\log 2\]

这个 $a_n$ 非常有用, 它是 $(1+x)^{2n}$ 的展开式中 $x^n$ 的系数.

问题686考虑了以它为系数的级数的性质.

References

闵嗣鹤, 严士健编,  初等数论. 高等教育出版社. 1993

Author: Jan Turk

Title: The product of two or more neighboring integers is never a power.

Journal: Illinois journal of mathematics, Volume 27, Number 3, Fall 1983.

1. 介绍

1975年, Erdos 和 Selfridge [1]证明了: 两个或两个以上连续正整数的乘积不是一个幂. (注意我们这里的幂都是指次数大于1的.)

更早的时候, Erdos [6] 独立证明了: 两个或两个以上连续正整数的乘积不是一个数的平方.

Jan Turk 要证明的是: 两个或两个以上相邻(或邻近)的正整数的乘积不可能是一个幂. 这里的相邻或邻近之意是这样的: 两个不同的整数, 如果它们都含于某个短区间 $(N,N+c\log\log\log N)$ (这里 $c$ 是某个常数, 当 $N\leq 16$ 时, 我们将 $\log\log\log N$ 代之为 1), 我们便认为它们是邻近的(或相邻的).

需要注意的是, 当区间的长度增加到 $\exp\bigl(12(\log N\log\log N)^{1/2}\bigr)$ 时, 该结论对于大多 $N$ (事实上存在无穷多这样的 $N$) 是错误的; 而当区间长度为 $cN^{\frac{1}{2}-\varepsilon}$ 时 ($c$ 和 $\varepsilon$ 是正常数), 对于所有的 $N$, 结论均不成立.

我们考虑更一般的情形. 邻近整数的乘积, 若这些乘积因子允许重复, 则结论变为: "两个或两个以上邻近整数的乘积(允许重复)不可能是一个幂". 另外, 我们所处理的是准幂(almost powers), 而不是完全幂(perfect powers). 也就是说, 我们考虑的是形如 $ab^m$ 的数, 其中整数 $a$ 相较 $b^m$ 来说比较小. 我们称这样的数为准幂(almost power). 我们可以证明: "两个或两个以上邻近的整数的乘积(允许重复), 不可能是准幂(平凡的准幂除外)".

最后我们对于平凡准幂的构成作一注解. 我们考虑乘积

\[\prod n_i^{m_i},\]

其中 $n_i$ 在所给定的短区间内. 如果对于每个 $i$, 有 $gcd(m,m_i)=1$, 则我们认为这些乘积就不是平凡的准 $m$-幂. 不过似乎要求不是所有 $m_i$ 都是 $m$ 的倍数看上去来得更自然. 但这也带来了相当大的困难: 尽管 Tijdeman [] 已经证明两个充分大的连续整数不可能都是幂. 但两个大的邻近(或相邻)整数能否都是幂目前还不清楚. 对此, 我们需要对 $m_i$ 放宽条件.

2. 引理

记号.  对于 $a,m\in\mathbb{N}$, $m\geq 2$, 我们记 $ax^m$ ($x\in\mathbb{N}$) 形式的整数集为 $a\mathbb{N}^m$. 正整数 $n$ 的标准分解式为

\[n=\prod_p p^{v_p(n)}\]

整除 $n$ 的不同素数个数记为 $\omega(n)$, 整除 $n(\geq 2)$ 的最大素数记为 $P(n)$, 当 $n=1$ 时, 令 $P(1)=1$. $\text{gcd}(n,m)$ 表示 $n$ 和 $m$ 的最大公因子. $n_1,n_2,\ldots,n_f$ 的最小公倍数用 $\text{lcm}[n_1,n_2,\ldots,n_f]$ 表示. $|S|$ 记指集合 $S$ 的基数, 即所含元素的个数.

引理 1. 设 $a,m,f\in\mathbb{N}$, 且 $m\geq 2$, 设 $f\geq 2$. $n_1,n_2,\ldots,n_f$ 为区间长度为 $K$ 的某区间内 $f$ 个互不相同的正整数, 满足性质: 存在与 $m$ 互素的正整数 $m_1,m_2,\ldots,m_f$, 使得 $\prod_{i=1}^{f}n_i^{m_i}\in a\mathbb{N}^m$. 记 $n_i=a_i x_i^m$, $a=a_0 x_0^m$ (其中 $a_i,x_i\in\mathbb{N}$, 且对于 $0\leq i\leq f$, $a_i$ 中无 $m$-次方因子). 则有:

(1) $a_1,a_2,\ldots,a_f$ 由 $a_0$ 的素因子及不超过 $K$ 的素数所构成.

(2) $a_i\leq\exp(m(CK+\sum_{p|a_0}\log p))$, ($i=1,2,\ldots,f$) 其中 $C$ 是某个绝对常数(即不依赖任何量的常数).

(3) $a_i\leq\exp\bigl(m((f-1)\log K+\sum_{p|a_0}\log p)\bigr)$, $i=1,2,\ldots,f$.

(4) 存在两个 $a_i$ (若 $f\geq 3$, 则存在三个), 使得

\[a_i\leq\exp\bigl(Cf^{-1}(mK+K\log K+m\sum_{p|a_0}\log p)\bigr),\]

其中 $C$ 取某个固定的常数.

(5) 存在两个 $a_i$ (若 $f\geq 3$, 则存在三个), 使得

\[a_i\leq\exp\bigl(Cm(K^{\frac{1}{2}}(\log K)^{\frac{1}{2}}+\sum_{p|a_0}\log p)\bigr),\]

其中 $C$ 取某个固定的常数.

证明: 对于整数 $n$, $n=\prod_p p^{v_p(n)}$ 是它的素因子分解, 则对每个素数 $p$, 我们有

\[\sum_{i=1}^{f}m_i v_p(a_i)=v_p(a_0)(\text{mod} m).\]

待续...

Remark:

这是篇阅读笔记, 原文参见

Jan Turk, The product of two or more neighboring integers is never a power. Illinois journal of mathematics, Volume 27, Number 3, Fall 1983.

也是我指导的一位本科生完成其毕业论文所阅读的文章, 这里要感谢他提供的笔记初稿及相关参考文献.

证明:

\[\prod_{i=1}^{n}a_i\leq\text{lcm}[a_1,a_2,\ldots,a_n]\prod_{1\leq i<j\leq n}\text{gcd}(a_i,a_j),\]

其中 $a_i$ 均是正整数. 当 $n=2$ 时, 等号成立.

如

\[3^2-2\cdot 2^2=1,\]

\[17^2-2\cdot 12^2=1,\]

等等.

证明 $\sum_{n\leq x}\log^h(\frac{x}{n})=O(x)$, 这里 $h>0$.

\[\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma+O(\frac{1}{x})\]

其中 $\gamma$ 是著名的 Euler 常数.

提示: 这是 问题677 的直接推论.