证明 $\sum_{n\leq x}\log^h(\frac{x}{n})=O(x)$, 这里 $h>0$.

\[\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma+O(\frac{1}{x})\]

其中 $\gamma$ 是著名的 Euler 常数.

提示: 这是 问题677 的直接推论.

设 $c_1,c_2,c_3,\ldots$ 是一列数, $C(t)=\sum_{n\leq t}c_n$. $f(t)$ 是 $t$ 的任意一个函数. 则有
\[\sum_{n\leq x}c_n f(n)=\sum_{n\leq x-1}[f(n)-f(n+1)]+C(x)f([x])\tag{1}\]

此外, 若假设 $c_j=0$ 对于所有 $j<n_1$, 并且 $f(t)$ 对于 $t\geq n_1$ 有连续的导数, 则有

\[\sum_{n\leq x}c_n f(n)=C(x)f(x)-\int_{n_1}^{x}C(t)f^{'}(t)dt\tag{2}\]

References

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford Science Publications.

$\vartheta(x)$ 和 $\psi(x)$ 定义为

\[\vartheta(x)=\sum_{p\leq x}\log x=\log\prod_{p\leq x}p\]

\[\psi(x)=\sum_{p^m\leq x}\log x=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)\]

其中 $\Lambda(n)$ 是 von Mangoldt 函数, 定义为

\[\Lambda(n)=\begin{cases}\log p, & n=p^m,\\ 0, & n\neq p^m,\end{cases}\]

则

(1) $\psi(x)=\vartheta(x)+O(x^{1/2}\log^2 x)$;

(2) $\psi(x)$ 和 $\vartheta(x)$ 均是 $x^1$ 阶的. 即存在 $A_1,A_2$, 使得

$A_1 x\leq\psi(x)\leq A_2 x$, $A_1 x\leq\vartheta(x)\leq A_2 x$.

黎曼假设(Riemann Hypothesis)[RH] 等价于

\[
\psi(x)=x+O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}).
\]

对于 $k,n\in\mathbb{N}$, 定义

\[f(n,k):=\sum_{n<v\leq n+k, P(v)\leq k}1\]

其中 $P(v)$ 指正整数 $v$ 的最大素因子.

当 $k\geq n$ 时, 显然有

\[f(n,k)=k-\bigl(\pi(n+k)-\pi(k)\bigr)\]

这里 $\pi(k)$ 指不超过 $k$ 的素数个数.

References

P. Erdos and J. Turk, Products of integers in short intervals,

这个结论是 Erdõs 证明的, 参见[0].

对于连续的 $k$ 个正整数 $n, n+1,\ldots, n+k-1$, 人们早已猜测它们的乘积

\[A_k(n)=n(n+1)\cdots(n+k-1)\]

不可能是某个正整数的 $\ell$ 次幂. (这里 $k>1$, $\ell>1$).

对于 $k=2$ 和 $k=3$ 的情形, 这个结论是熟知的.

如对于 $k=2$, $n^2<n(n+1)<(n+1)^2$, 所以 $n(n+1)$ 不可能是某个整数的平方. 一般的, 注意到 $n$ 和 $n+1$ 是互素的, 除 1 之外没有公因子, $n=a_1 x_1^\ell$, $n+1=a_2 x_2^\ell$, 且$a_1 a_2=x_3^\ell$, 因此不存在 $\ell>1$,  使得 $n(n+1)=x^\ell$.

假设 $(n+1)(n+2)(n+3)=x^\ell$, 同样的, 可设 $n+i=a_i x_i^\ell$, $i=1,2,3$. 且 $a_1 a_2 a_3=x_0^\ell$. 要知道 $n+1$, $n+3$ 如果是奇数, 则一定互素, 如果是偶数, 则至多有公因子 2. 因此若 $2|x_0$, $\ell$ 必须为 2. 但是 $(n+1)(n+2)(n+3)=x^2$ 这是不可能的. 否则由于 $x>n+2$, 必有 $x|(n+1)(n+3)$.

Q. 两个相邻奇数 $2k-1$, $2k+1$ 是否互素?
A. 若有公因子 $d>1$, 设 $2k-1=ad$, $2k+1=bd$, 则 $bd-ad=2$, 这推出 $(b-a)d=2$. 又 $b-a>0$, 而 $d$ 不可能是 2, 故矛盾. 因此相邻两个奇数一定互素.

References

[0] P. Erdõs, Note on products of consecutive integers, Journal of the London Mathematical Society, Vol. 14, 1939.

设 $N\leq a^m<b^m$, 则这两个幂不可能同在区间 $[N,N+\sqrt{N}]$ 中. 其中 $a,b,m\in\mathbb{N}$.

J. Turk 考虑了所谓的 almost 幂, 也得到类似的结果. 所谓 almost 幂, 指形如 $ax^m$ 的数, 其中 $a$ 相对 $x^m$ 来说比较小. (这里 $a,x,m$ 也都是正整数, $a>1$. 一般的, 如果不另外申明, 所考虑的均是正整数, 至少是整数.) 若假设 $a$ 有界, 则得到了下面的结论.

(1) $[N,N+cN^{1/3-\varepsilon}]$ 中不可能同时有两个形如 $n_i=a_i x_i^m$ 的不同整数, 其中 $m\geq 3$, $a_i\leq A$, $i=1,2$. 这里 $\varepsilon>0$ 和 $A\geq 1$ 是任意的, $c=c(\varepsilon, A)$ 是仅依赖于 $\varepsilon$ 和 $A$ 的正数. 指数 $1/3$ 是最优的: 因为存在某个 $c_0>0$ 和无穷多的 $N\in\mathbb{N}$, 使得 $[N,N+c_0 N^{1/3}]$ 包含两个形如 $x_1^3$, $2x_2^3$ 的不同整数.

(2) $[N,N+cN^{1/4-\varepsilon}]$ 不可能同时含有三个形如 $n_i=a_i x_i^2$ 的整数, 其中对所有 $i=1,2,3$, $a_i\leq A$. 这里 $c=c(\varepsilon,A)>0$ 及指数 $1/4$ 是最优的: 因为存在某个 $c_1>0$ 和无穷多的 $N\in\mathbb{N}$ 使得 $[N,N+c_1N^{1/4}]$ 含有三个形如 $x_1^2,2x_2^2,3x_3^2$ 的不同整数.

(3) $[N,N+\Phi(N)]$ 不可能含有形如 $n_i=a_i x_i^m$ 的两个 almost powers. 这里 $m\geq 3$ 且 $a_i\leq\varphi(n_i)$, $i=1,2.$

Remark

1. (1) 中 $m$ 不能为 2, 因为两个不同的近平方数(almost squares)可以非常靠近. 如不定方程 $x_1^2-2x_2^2=1$ 存在无穷多组解.

2. (1) 中 $c=c(\varepsilon,A)$ 关于 $A$ 和 $\varepsilon$ 的依赖关系尚不清楚. 因此 (1) 并没有断言一个短区间永不包含两个具有相同指数(大于2)的 almost powers.

3. (1) 和 (2) 实际上是更一般结论的特殊情形. 详见

References

Jan Turk, Almost powers in short intervals, Arch. Math., Vol. 43, 157-166 (1984)

如: $\sqrt{3}<2<3$, $\sqrt{4}<3<4$, $\sqrt{5}<3<5$, $\sqrt{6}<3,5<6$, ...

此结论可以作为 Sylvester 定理的一个直接推论.

这里 $\pi(k)$ 指小于等于 $k$ 的所有素数个数. 注意一般的有

\[\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}\]

这就是所谓的素数定理.

Schur 指出: 当 $k>37$ 时, 有 $\pi(k)<\frac{1}{3}k$.

References

Paul Erdos, A theorem of Sylvester and Schur. Journal of the London Mathematical Society, Vol.9, Part 4.

引理. 若 $\binom{n}{k}$ 可被某个素数 $p$ 的幂 $p^\alpha$ 整除, 则 $p^\alpha\leq n$.

若 $\alpha$ 是最大的, 则有 $p^\alpha\leq n<p^{\alpha+1}$.