问题及解答

证明 $\sum_{n\leq x}\log^h(\frac{x}{n})=O(x)$, 这里 $h>0$.

由于 $\log t$ 关于 $t$ 严格单调递增, 因此对于 $n\geq 2$, 有

\[\log^h\bigl(\frac{x}{n}\bigr)\leq\int_{n-1}^{n}\log^h\bigl(\frac{x}{t}\bigr)dt\]

因此

\[\sum_{n=2}^{[x]}\log^h\bigl(\frac{x}{n}\bigr)\leq\int_{1}^{x}\log^h\bigl(\frac{x}{t}\bigr)dt=x\int_{1}^{x}\frac{\log^h u}{u^2}dt\]

上式最后一个等号是采用换元, 令 $u=\frac{x}{t}$. 从而

\[\sum_{n=2}^{[x]}\log^h\bigl(\frac{x}{n}\bigr)<x\int_{1}^{+\infty}\frac{\log^h u}{u^2}du=Ax\]

注意 $h>0$, $\frac{\log^h u}{u^2}$ 在 $[1,+\infty)$ 上是可积的.

待续 ...