对任意素数 $p\neq 2,5$, 存在 $n$, 使得 $10^n\equiv 1(\mod p)$.

更一般的,

对于与 $m$ 互素的任何数 $a$, 存在 $n$, 使得 $a^n\equiv 1(\mod m)$.

Hint: 即 Euler 定理, $n=\phi(m)$.

如果 $x, x+36, x+112$ 都是素数, 则 $2(x+112)+53=2x+277$ 一定是 3 的倍数.

证明:

\[
13\underbrace{88\cdots 8}_{6k}91\equiv 0(\mod 13),\quad\forall\ k=0,1,2,\ldots
\]

且

\[
13\underbrace{88\cdots 8}_{72k}91\equiv 0(\mod 169),
\]

即第一个能被169整除的是 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891， 其中含有72个8.

以上将所有8改成任何数字都一样. 这是因为 xxxxxx00 始终能被 13 整除.

1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 = 13 * 13 * 7696738667 * 6838252872218262661 * 156145294634054688436224492369146997125414197

一些计算（使用的是 ARIBAS 软件）

==> 1388888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888891 mod 169.
-: 78

==> 1388888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888891 mod 169.
-: 117

==> 1388888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888891 mod 169.
-: 156

==> 1388888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888891 mod 169.
-: 26

==> 1388888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 65

==> 1388888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 104

==> 1388888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 143

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 13

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 52

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 91

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 130

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 0

==>

形如 $10^k+157$ 的素数有

\[
10^{23}+157,\quad 10^{54}+157,\quad 10^{55}+157,
\]

\[\text{dgr}(N)=\text{dgr}((N\cdot k)\]

对任意满足 $\text{dgs}(k)=10$ 的 $k$ 都成立.

这里我们简写 $\text{dgs}=\text{digitSum}$,  $\text{dgr}=\text{digitRoot}$.

 $\text{digitSum}(N)$ 是指数 $N$ 在十进制表示下的各位数字之和. 而 $\text{digitRoot}(N)$ 是对 $N$ 不断求数字之和最后得到的一个一位数.

参见问题1542

设 $m,n$ 是两个正整数, 证明

\[
\begin{aligned}
\text{dgr}(m+n)&=\text{dgr}(\text{dgr}(m)+\text{dgr}(n)),\\
\text{dgr}(m\cdot n)&=\text{dgr}(\text{dgr}(m)\cdot\text{dgr}(n)),\\
\end{aligned}
\]

其中 $\text{dgr}(n)$ 是指数字 $n$ 的 digital root.

作为推论,

\[
\text{dgr}(n^k)=\text{dgr}\bigl(\text{dgr}^k(n)\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}^{+}.
\]

Reference: http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root

The digital root of a sum is always equal to the digital root of the sum of the summands' digital roots

 证明: $Ae+B\pi=C$ 不可能有整数解.

这里 $e$ 和 $\pi$ 是熟知的两个超越数, $A,B,C$ 是整数.

正整数的泽肯多夫表示

是指任意一个正整数都可以唯一地表示为一个或多个 Fibonacci 数的和, 如果是多个, 则这些 Fibonacci 数要求是不相邻的.

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeckendorf%27s_theorem

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Zeckendorf_representation

1966年, 陈景润得到下面与孪生素数相关的一个结果.

存在无穷多个素数 $p$, 使得 $p+2$ 是不超过两个素数之积.

陈景润于1966年用加权筛法证明了

定理. 任何一个充分大的偶数, 都可以表示为一个素数与一个不超过两个素数乘积的和.

这是对哥德巴赫猜想 (A) 最好的结果.

哥德巴赫猜想:

(A) 每一个不小于 6 的偶数, 皆可表示为两个奇素数之和.

(B) 每一个不小于 9 的奇数, 皆可表示为三个奇素数之和.

由于 $2n+1=2(n-1)+3$, 故 (A) 可推出 (B).

维诺格拉道夫已证明了: 充分大的奇数, 皆可表为三个奇素数之和, 即基本解决了 (B).