证明:

\[
13\underbrace{88\cdots 8}_{6k}91\equiv 0(\mod 13),\quad\forall\ k=0,1,2,\ldots
\]

且

\[
13\underbrace{88\cdots 8}_{72k}91\equiv 0(\mod 169),
\]

即第一个能被169整除的是 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891， 其中含有72个8.

以上将所有8改成任何数字都一样. 这是因为 xxxxxx00 始终能被 13 整除.

1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 = 13 * 13 * 7696738667 * 6838252872218262661 * 156145294634054688436224492369146997125414197

一些计算（使用的是 ARIBAS 软件）

==> 1388888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888891 mod 169.
-: 78

==> 1388888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888891 mod 169.
-: 117

==> 1388888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888891 mod 169.
-: 156

==> 1388888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888891 mod 169.
-: 26

==> 1388888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 65

==> 1388888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 104

==> 1388888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 143

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 13

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 52

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 91

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 130

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 13.
-: 0

==> 1388888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888891 mod 169.
-: 0

==>

形如 $10^k+157$ 的素数有

\[
10^{23}+157,\quad 10^{54}+157,\quad 10^{55}+157,
\]

\[\text{dgr}(N)=\text{dgr}((N\cdot k)\]

对任意满足 $\text{dgs}(k)=10$ 的 $k$ 都成立.

这里我们简写 $\text{dgs}=\text{digitSum}$,  $\text{dgr}=\text{digitRoot}$.

 $\text{digitSum}(N)$ 是指数 $N$ 在十进制表示下的各位数字之和. 而 $\text{digitRoot}(N)$ 是对 $N$ 不断求数字之和最后得到的一个一位数.

参见问题1542

设 $m,n$ 是两个正整数, 证明

\[
\begin{aligned}
\text{dgr}(m+n)&=\text{dgr}(\text{dgr}(m)+\text{dgr}(n)),\\
\text{dgr}(m\cdot n)&=\text{dgr}(\text{dgr}(m)\cdot\text{dgr}(n)),\\
\end{aligned}
\]

其中 $\text{dgr}(n)$ 是指数字 $n$ 的 digital root.

作为推论,

\[
\text{dgr}(n^k)=\text{dgr}\bigl(\text{dgr}^k(n)\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}^{+}.
\]

Reference: http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root

The digital root of a sum is always equal to the digital root of the sum of the summands' digital roots

 证明: $Ae+B\pi=C$ 不可能有整数解.

这里 $e$ 和 $\pi$ 是熟知的两个超越数, $A,B,C$ 是整数.

正整数的泽肯多夫表示

是指任意一个正整数都可以唯一地表示为一个或多个 Fibonacci 数的和, 如果是多个, 则这些 Fibonacci 数要求是不相邻的.

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeckendorf%27s_theorem

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Zeckendorf_representation

1966年, 陈景润得到下面与孪生素数相关的一个结果.

存在无穷多个素数 $p$, 使得 $p+2$ 是不超过两个素数之积.

陈景润于1966年用加权筛法证明了

定理. 任何一个充分大的偶数, 都可以表示为一个素数与一个不超过两个素数乘积的和.

这是对哥德巴赫猜想 (A) 最好的结果.

哥德巴赫猜想:

(A) 每一个不小于 6 的偶数, 皆可表示为两个奇素数之和.

(B) 每一个不小于 9 的奇数, 皆可表示为三个奇素数之和.

由于 $2n+1=2(n-1)+3$, 故 (A) 可推出 (B).

维诺格拉道夫已证明了: 充分大的奇数, 皆可表为三个奇素数之和, 即基本解决了 (B).

证明 $n,n+2,n+4$ 中必有一个是 3 的倍数.

$n,n+6,n+12,n+18,n+24$ 中必有一个是 5 的倍数.

给定 $k$ 个数 $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$, 如果对所有 $n$, 素数 $p$ 至少整除 $n+a_1$, $n+a_2$, $\ldots$, $n+a_k$ 中的一个, 则称 $p$ 是一个障碍(obstruction).

换句话说, 素数 $p$ 整除

\[
\mathcal{P}(n)=(n+a_1)(n+a_2)\cdots(n+a_k),\quad\forall\ n.
\]

此等价于 $a_1,a_2,\ldots,a_k(\text{mod}\ p)$ 包含模 $p$ 的所有剩余类.

【Def】如果这 $k$ 个数 $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$, 没有一个素数是其障碍, 则称 $x+a_1,\ldots,x+a_k$ 是一个 admissible set of forms.

[注意] 由于 $a_1,a_2,\ldots,a_k(\text{mod}\ p)$ 顶多含有 $k$ 个模 $p$ 剩余类, 因此如果素数 $p>k$, 则它不可能成为这 $k$ 个数的障碍. 因此要检验含有 $k$ 个数的集合 $A$ 是否是 admissible 的, 我们只要对于 $p\leq k$, 找到一个剩余类  $b_p(\text{mod}\ p)$, 不包含 $A$ 中任一元素即可.

References:

Andrew Granville, Primes in intervals of bounded length.

Farey 序列是指集合

\[
\mathcal{F}_n=\{\frac{a}{b}\mid 0\leq a\leq b\leq n,\ (a,b)=1\}
\]

按从小到大顺序排列而得的一个分数序列. Farey 序列形如:

$\mathcal{F}_1$ 为

\[\frac{0}{1}\quad\frac{1}{1}\]

$\mathcal{F}_2$ 为

\[\frac{0}{1}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{1}{1}\]

$\mathcal{F}_3$ 为

\[
\frac{0}{1}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{2}{3}\quad\frac{1}{1}
\]

$\mathcal{F}_4$ 为

\[
\frac{0}{1}\quad\frac{1}{4}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{2}{3}\quad\frac{3}{4}\quad\frac{1}{1}
\]

$\mathcal{F}_5$ 为

\[
\frac{0}{1}\quad\frac{1}{5}\quad\frac{1}{4}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{2}{5}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{3}{5}\quad\frac{2}{3}\quad\frac{3}{4}\quad\frac{4}{5}\quad\frac{1}{1}
\]

易见,

\[
\begin{array}{rcl}
\mathcal{F}_n&\rightarrow&\mathcal{F}_n\\
\frac{h}{k}&\mapsto&\frac{k-h}{k}
\end{array}
\]

是一一映射, 并将 $\mathcal{F}_n$ 中的元素进行了逆序排列.

如果不考虑 $\mathcal{F}_n$ 中的 0, 并把任何数 $\frac{a}{b}$ 的倒数也放在其中, 组成一个序列, 记为 $\mathcal{G}_n$, 则它们形如

$\mathcal{G}_1$ 为

\[\frac{1}{1}\]

$\mathcal{G}_2$ 为

\[\frac{1}{2}\quad\frac{1}{1}\quad\frac{2}{1}\]

$\mathcal{G}_3$ 为

\[
\frac{1}{3}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{2}{3}\quad\frac{1}{1}\quad\frac{3}{2}\quad\frac{2}{1}\quad\frac{3}{1}
\]

$\mathcal{G}_4$ 为

\[
\frac{1}{4}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{2}{3}\quad\frac{3}{4}\quad\frac{1}{1}\quad\frac{4}{3}\quad\frac{3}{2}\quad\frac{2}{1}\quad\frac{3}{1}\quad\frac{4}{1}
\]

$\mathcal{G}_5$ 为

\[
\frac{1}{5}\quad\frac{1}{4}\quad\frac{1}{3}\quad\frac{2}{5}\quad\frac{1}{2}\quad\frac{3}{5}\quad\frac{2}{3}\quad\frac{3}{4}\quad\frac{4}{5}\quad\frac{1}{1}\quad\frac{5}{4}\quad\frac{4}{3}\quad\frac{3}{2}\quad\frac{5}{3}\quad\frac{2}{1}\quad\frac{5}{2}\quad\frac{3}{1}\quad\frac{4}{1}\quad\frac{5}{1}
\]

证明:

(1) 如果 $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$ 是 Farey 序列中两个相邻的分数, 则有 $ad-bc=-1$. (逆命题不成立.)

(2) 如果 $\frac{a}{b}< \frac{x}{y}< \frac{c}{d}$ 是 Farey 序列中的三个相邻的分数, 则有

\[\frac{x}{y}=\frac{a+c}{b+d}\]

并且 (1) 和 (2) 是等价的.

(3) 若 $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$ 是 $\mathcal{F}_n$ 中相邻的两个分数, 则 $b+d>n$.

(4) 如果 $n>1$, 则 $\mathcal{F}_n$ 中不存在具有相同分母的两个相邻的项(既约分数).

(5) $\mathcal{F}_{n-1}\subset\mathcal{F}_n$, 并且多出的部分是下面的集合

\[\biggl\{\frac{k}{n}\biggl| 1\leq k\leq n-1,\quad (k,n)=1\biggr\}.\]

因此若记 $f(n)$ 为 $\mathcal{F}_n$ 所含元素的个数, 则 $f(n)=f(n-1)+\varphi(n)$, 其中 $\varphi(n)$ 指 1 到 $n$ 中与 $n$ 互素的正整数个数. 从而

\[f(n)=1+\sum_{k=1}^{n}\varphi(k).\]

若记 $g(n)$ 为 $\mathcal{G}_n$ 所含元素的个数, 则 $g(1)=1$, $g(2)=3$, $g(3)=7$, $g(4)=11$, $g(5)=19$. 求 $g(n)$ 的表达式.

References:

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. (《哈代数论》张明尧，张凡 译)

http://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence