求解 $x^2\equiv 322(\mod 999)$.

证明: 仅有这些数是解

\[
\begin{aligned}
(999k+454)^2\equiv 322\ (\mod 999),\\
(999k+491)^2\equiv 322\ (\mod 999),\\
(999k+508)^2\equiv 322\ (\mod 999),\\
(999k+545)^2\equiv 322\ (\mod 999).\\
\end{aligned}
\]

类似的, 求解 $x^2\equiv 223(\mod 999)$.

证明: 仅有这些数是解

\[
\begin{aligned}
(999k+149)^2\equiv 223\ (\mod 999),\\
(999k+445)^2\equiv 223\ (\mod 999),\\
(999k+554)^2\equiv 223\ (\mod 999),\\
(999k+850)^2\equiv 223\ (\mod 999).\\
\end{aligned}
\]

证明数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 对于 $n\geqslant 3$ 是严格递减的.

[Hint] 考虑函数 $f(x)=\log(x^{1/x})=\frac{\log x}{x}$, 证明 $f(x)$ 在 $(4.5,+\infty)$ 上是严格凸的.

References:

孙智伟 ON A SEQUENCE INVOLVING SUMS OF PRIMES, Bull. Aust. Math. Soc. 88(2013), no. 2, 197–205. 

http://arxiv.org/pdf/1207.7059v7.pdf

对任意 $x\geqslant 1$, 有不等式

\[
\sqrt{2\pi}x^{x+\frac{1}{2}}e^{-x+\frac{1}{12x+1}}\leqslant x!\leqslant\sqrt{2\pi}x^{x+\frac{1}{2}}e^{-x+\frac{1}{12x}}
\]

参见

Robbins, H., A remark on Stirling’s formula, Amer. Math. Monthly, Vol. 62, 1955, 26–29.

群 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ 的阶是 $\phi(m)$.

这里 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ 是乘法群. 不含 $\bar{0}$ 元素.

$\phi(m)$ 是欧拉函数, 也称 totient function. 是指集合 $\{1,2,\ldots,m-1\}$ 中与 $m$ 互素的元素个数. 显然对于素数 $p$, $\phi(p)=p-1$.

证明 

\[\sum_{i=1}^{+\infty}\log(1+\frac{1}{p_i-1})\] 

发散. 其中 $p_i$ 是指第 $i$ 个素数.

[Hint]

根据 $\log(1+x)$ 的 Taylor 展式

\[
\log(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\cdots,
\]

可得

\[
\frac{1}{p} < \log(1+\frac{1}{p-1}) < \frac{1}{p-1}.
\]

而素数的倒数和 $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{p_i}$ 是发散的.

证明 $x^2+y^2=7z^2$ 没有非零有理数解.

如果改成 $x^5+y^5=7z^5$, 目前还不知道如何解决.

证明下面的整数方程有且仅有一个解

\[
\sum_{i=1}^{n} i^2=m^2.
\]

这里 $n > 1$.

解是: $n=24$, $m=70$.

(备注:  此问题的得知来自于张继平教授在厦门大学2015暑期学校所做的报告.)

设 $\varphi(n)=114$, 求 $n$.

设 $\pi(m)=114$, 求 $m$.

对任意素数 $p\neq 2,5$, 存在 $n$, 使得 $10^n\equiv 1(\mod p)$.

更一般的,

对于与 $m$ 互素的任何数 $a$, 存在 $n$, 使得 $a^n\equiv 1(\mod m)$.

Hint: 即 Euler 定理, $n=\phi(m)$.

如果 $x, x+36, x+112$ 都是素数, 则 $2(x+112)+53=2x+277$ 一定是 3 的倍数.