证明 $\sum_{i=1}^{+\infty}\log(1+\frac{1}{p_i-1})$ 发散.
证明
\[\sum_{i=1}^{+\infty}\log(1+\frac{1}{p_i-1})\]
发散. 其中 $p_i$ 是指第 $i$ 个素数.
[Hint]
根据 $\log(1+x)$ 的 Taylor 展式
\[
\log(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\cdots,
\]
可得
\[
\frac{1}{p} < \log(1+\frac{1}{p-1}) < \frac{1}{p-1}.
\]
而素数的倒数和 $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{p_i}$ 是发散的.