问题及解答

设 $N\leq a^m<b^m$, 则这两个幂不可能同在区间 $[N,N+\sqrt{N}]$ 中. 其中 $a,b,m\in\mathbb{N}$.

J. Turk 考虑了所谓的 almost 幂, 也得到类似的结果. 所谓 almost 幂, 指形如 $ax^m$ 的数, 其中 $a$ 相对 $x^m$ 来说比较小. (这里 $a,x,m$ 也都是正整数, $a>1$. 一般的, 如果不另外申明, 所考虑的均是正整数, 至少是整数.) 若假设 $a$ 有界, 则得到了下面的结论.

(1) $[N,N+cN^{1/3-\varepsilon}]$ 中不可能同时有两个形如 $n_i=a_i x_i^m$ 的不同整数, 其中 $m\geq 3$, $a_i\leq A$, $i=1,2$. 这里 $\varepsilon>0$ 和 $A\geq 1$ 是任意的, $c=c(\varepsilon, A)$ 是仅依赖于 $\varepsilon$ 和 $A$ 的正数. 指数 $1/3$ 是最优的: 因为存在某个 $c_0>0$ 和无穷多的 $N\in\mathbb{N}$, 使得 $[N,N+c_0 N^{1/3}]$ 包含两个形如 $x_1^3$, $2x_2^3$ 的不同整数.

(2) $[N,N+cN^{1/4-\varepsilon}]$ 不可能同时含有三个形如 $n_i=a_i x_i^2$ 的整数, 其中对所有 $i=1,2,3$, $a_i\leq A$. 这里 $c=c(\varepsilon,A)>0$ 及指数 $1/4$ 是最优的: 因为存在某个 $c_1>0$ 和无穷多的 $N\in\mathbb{N}$ 使得 $[N,N+c_1N^{1/4}]$ 含有三个形如 $x_1^2,2x_2^2,3x_3^2$ 的不同整数.

(3) $[N,N+\Phi(N)]$ 不可能含有形如 $n_i=a_i x_i^m$ 的两个 almost powers. 这里 $m\geq 3$ 且 $a_i\leq\varphi(n_i)$, $i=1,2.$

Remark

1. (1) 中 $m$ 不能为 2, 因为两个不同的近平方数(almost squares)可以非常靠近. 如不定方程 $x_1^2-2x_2^2=1$ 存在无穷多组解.

2. (1) 中 $c=c(\varepsilon,A)$ 关于 $A$ 和 $\varepsilon$ 的依赖关系尚不清楚. 因此 (1) 并没有断言一个短区间永不包含两个具有相同指数(大于2)的 almost powers.

3. (1) 和 (2) 实际上是更一般结论的特殊情形. 详见

References

Jan Turk, Almost powers in short intervals, Arch. Math., Vol. 43, 157-166 (1984)

\[b^m-a^m\geq (a+1)^m-a^m\geq ma^{m-1}\geq mN^{\frac{m-1}{m}}\geq\sqrt{N}\]

因此, $a^m$ 与 $b^m$ 不可能同在 $[N,N+\sqrt{N}]$ 区间中.