问题及解答

设 $n$ 是正整数, $x$ 是实数, 证明: $\Bigl[\frac{[nx]}{n}\Bigr]=[x]$.

Hint: 如果 $x$ 是有理数, 则也可以利用下面的性质:

\[
\Bigl[\frac{[\frac{m}{a}]}{b}\Bigr]=\bigl[\frac{m}{ab}\bigr].
\]

\[
\begin{split}
&[nx]\leqslant nx < [nx]+1\\
\Rightarrow &\frac{[nx]}{n}\leqslant x < \frac{[nx]}{n}+\frac{1}{n}\\
\Rightarrow &\biggl[\frac{[nx]}{n}\biggr]\leqslant [x]
\end{split}
\]

另一方面,

\[[nx]=[n[x]+n\{x\}]=n[x]+[n\{x\}]\leqslant n[x]+n-1\]

这推出

\[\frac{[nx]}{n}\leqslant [x]+\frac{n-1}{n}\]

故得

\[\biggl[\frac{[nx]}{n}\biggr]\leqslant [x]\]

也可这么来叙述证明.

\[
\begin{split}
&[nx]\leqslant nx < [nx]+1\\
\Rightarrow &\frac{[nx]}{n}\leqslant x < \frac{[nx]}{n}+\frac{1}{n}\\
\end{split}
\]

令 $p=[nx]$, $q=n$, 则有

\[\frac{p}{q}\leqslant x < \frac{p+1}{q}\]

应用带余除法, 设 $p=q\cdot m+r$, $0\leqslant r < q$. 则

\[m+\frac{r}{q}\leqslant x < \frac{mq+r+1}{q}=m+\frac{r+1}{q}\]

因此

\[[x]=m=\biggl[\frac{p}{q}\biggr]=\biggl[\frac{[nx]}{n}\biggr].\]