问题及解答

证明:

\[\prod_{i=1}^{n}a_i\leq\text{lcm}[a_1,a_2,\ldots,a_n]\prod_{1\leq i<j\leq n}\text{gcd}(a_i,a_j),\]

其中 $a_i$ 均是正整数. 当 $n=2$ 时, 等号成立.

设

\[\begin{array}{rcl}a_1&=&p_1^{s_{11}}p_2^{s_{12}}\cdots p_m^{s_{1m}}\\ a_2&=&p_1^{s_{21}}p_2^{s_{22}}\cdots p_m^{s_{2m}}\\ \vdots &&\vdots \\ a_n&=&p_1^{s_{n1}}p_2^{s_{n2}}\cdots p_m^{s_{nm}}\end{array}\]

其中 $p_1<p_2<\cdots<p_m$ 是 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 的所有素因子. 如果 $a_i$ 中不含 $p_j$ 因子, 则 $p_j$ 上的指数 $s_{ij}=0$.

于是立得证.