问题及解答

即证明

\[[na]=[a]+[a+\frac{1}{n}]+[a+\frac{2}{n}]+\cdots+[a+\frac{n-1}{n}]\]

将 $[0,1]$ 作 $n$ 等分, 分成 $n$ 个左闭右开的小区间: $[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n})$, $i=1,2,\ldots,n$. 不妨假设 $\{a\}\in [\frac{j-1}{n},\frac{j}{n})$. 则 $n\{a\}\in [j-1,j)$. 于是

\[[na]=[n[a]+n\{a\}]=n[a]+[n\{a\}]=n[a]+j-1\]

而

\[[a+\frac{k}{n}]=[[a]+\{a\}+\frac{k}{n}]=[a]+[\{a\}+\frac{k}{n}]\]

当且仅当 $n-j+1\leqslant k\leqslant n-1$ 时, 上式才等于 $[a]+1$. 而这种情况有 $j-1$ 项. 因此有恒等式

\[[na]=[a]+[a+\frac{1}{n}]+[a+\frac{2}{n}]+\cdots+[a+\frac{n-1}{n}]\]