\[\bigl(\pi(2n)-\pi(n)\bigr)\log n\leq\log a_n\leq\pi(2n)\log 2n\]
\[n\log 2<2n\log2-\log(2n)\leq\log a_n\leq 2n\log 2\]
当 $n$ 充分大时, 有
\[n\log 2<2n\log2-\frac{1}{2}\log(2n)\leq\log a_n\leq 2n\log 2\]
这个 $a_n$ 非常有用, 它是 $(1+x)^{2n}$ 的展开式中 $x^n$ 的系数.
问题686考虑了以它为系数的级数的性质.
References
闵嗣鹤, 严士健编, 初等数论. 高等教育出版社. 1993
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先证第二个简单的. 由于 $a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$ 是 $(1+x)^{2n}$ 的展开式中 $x^n$ 项的系数, 故
\[a_n\leq(1+1)^{2n}=2^{2n}\]
另一方面
\[\begin{split}a_n&=\frac{2n(2n-1)(2n-2)\cdots(n-1)}{n!}\\ &=2(2+\frac{1}{n-1})(2+\frac{2}{n-2})(2+\frac{3}{n-3})\cdots(2+\frac{n-2}{2})(2+\frac{n-1}{1})\\ &\geq 2^n\end{split}\]
故
\[2^n\leq a_n\leq 2^{2n}\]
取对数即得结论.
Remark:
事实上, 这个下界估计太粗糙. 我在问题686的计算中发现
\[\frac{4^n}{2n}<\frac{(2n)!}{(n!)^2}\]
而 $\frac{4^n}{2n}>2^n$ 是显然的. 从而
\[2n\log2-\log(2n)<\log a_n<2n\log 2\]
更进一步的, 当 $n>M^2$ 时, 有
\[\frac{(2n)!}{(n!)^2}>M\frac{4^n}{2n}.\]
这里的 $M>0$ 是任取的.
因此, 当 $x\geq 6$, 令 $n=\bigl[\frac{x}{2}\bigr]$, 则 $x\geq 2n$, $n>\frac{x}{3}$, 特别的, 当 $x>2M^2+2$ 时(此时, $n>M^2$), 有
\[\pi(x)\log x\geq\pi(2n)\log(2n)\geq\log a_n\geq\log(M\frac{4^n}{2n})=\log M+2n\log 2-\log(2n) \]
由此可得到不等式
\[(\pi(x)+1)\log x> x\log 2\]
即
\[\pi(x)>\log 2\frac{x}{\log x}-1\]
更好的是利用 Wallis 公式 可得
\[
\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\frac{(2n-1)!!}{(2n-2)!!}\frac{4^n}{2n}\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}\frac{4n^2}{2n+1}}\frac{4^n}{2n}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{4^n}{\sqrt{2n+1}}
\]
或写得好看一点, 如下
\[
\frac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot\frac{1}{4^n}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{\sqrt{2n}}
\]
因此,
\[a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{4^n}{\sqrt{2n}}\]
从而,
\[\log a_n\approx\log\sqrt{\frac{2}{\pi}}+2n\log 2-\frac{1}{2}\log(2n)\]