问题及解答

求 $30!$ 的标准分解式. 应用

\[n!=\prod_{p\leq n}p^{\sum_{r=1}^{+\infty}\bigl[\frac{n}{p^r}\bigr]}\]

其中 $p$ 是素数. (参见问题197)

使用 Magma 或 GAP 计算 $30!$ 的标准分解式.

设

\[
30!=2^{h_2}\cdot 3^{h_3}\cdot 5^{h_5}\cdot 7^{h_7}\cdot 11^{h_{11}}\cdot 13^{h_{13}}\cdot 17^{h_{17}}\cdot 19^{h_{19}}\cdot 23^{h_{23}}\cdot 29^{h_{29}}
\]

\[
h_p=\sum_{r=1}^{+\infty}\biggl[\frac{30}{p^r}\biggr]
\]

因此

\[
\begin{split}
h_2&=\biggl[\frac{30}{2}\biggr]+\biggl[\frac{30}{2^2}\biggr]+\biggl[\frac{30}{2^3}\biggr]+\biggl[\frac{30}{2^4}\biggr]\\
&=15+7+3+1=26
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
h_3&=\biggl[\frac{30}{3}\biggr]+\biggl[\frac{30}{3^2}\biggr]+\biggl[\frac{30}{3^3}\biggr]\\
&=10+3+1=14
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
h_5&=\biggl[\frac{30}{5}\biggr]+\biggl[\frac{30}{5^2}\biggr]\\
&=6+1=7
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
h_7&=\biggl[\frac{30}{7}\biggr]=4\\
h_{11}&=\biggl[\frac{30}{11}\biggr]=2\\
h_{13}&=\biggl[\frac{30}{13}\biggr]=2\\
h_{17}&=\biggl[\frac{30}{17}\biggr]=1\\
h_{19}&=\biggl[\frac{30}{19}\biggr]=1\\
h_{23}&=\biggl[\frac{30}{23}\biggr]=1\\
h_{29}&=\biggl[\frac{30}{29}\biggr]=1\\
\end{split}
\]

因此

\[30!=2^{26}\cdot 3^{14}\cdot 5^7\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17^1\cdot 19^1\cdot 23^1\cdot 29^1\]