Questions in category: 常微分方程 (ODE)
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1. 求二阶常系数线性齐次方程

Posted by haifeng on 2019-07-12 16:42:56 last update 2019-07-12 16:42:56 | Answers (1) | 收藏


求二阶常系数线性齐次方程

\[
\begin{cases}
y''+2y'+y=0,\\
y(0)=4,\quad y'(0)=-2
\end{cases}
\]

2. 解方程 $x(1+y^2)\mathrm{d}x-(1+x^2)y\mathrm{d}y=0$

Posted by haifeng on 2019-07-11 20:49:47 last update 2019-07-11 20:50:42 | Answers (1) | 收藏


解方程 $x(1+y^2)\mathrm{d}x-(1+x^2)y\mathrm{d}y=0$.

3. 求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.

Posted by haifeng on 2019-05-22 13:35:46 last update 2019-05-22 13:43:23 | Answers (1) | 收藏


求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.

比如, 最简单的

\[
\begin{cases}
\frac{dy}{dt}=z,\\
\frac{dz}{dt}=-y.
\end{cases}
\]

或者有三个未知函数的微分方程组

\[
\begin{cases}
x'_t=2x-3y+3z,\\
y'_t=4x-5y+3z,\\
z'_t=4x-4y+2z.\\
\end{cases}\tag{*}
\]

 


[Idea]

处理这种方程组的想法来源于最简单的方程 $\frac{dx}{dt}=ax$ 以及变量的线性变换.

对于 $\frac{dx}{dt}=ax$, 我们都知道它的通解为 $x=Ce^{at}$. 如果方程组形如

\[
\begin{cases}
x'_t=2x,\\
y'_t=-5y,\\
z'_t=2z.\\
\end{cases}
\]

我们自然是会解的, 这里 $x,y,z$ 彼此互不相关. 但对于方程组(*), 或者一般的 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$, 这里 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T$, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 我们可以想办法利用线性变换, 将 $A$ 变成单位矩阵.

 

4. 一阶线性非其次常微分方程的求解公式

Posted by haifeng on 2018-05-03 22:24:30 last update 2018-05-03 22:27:10 | Answers (0) | 收藏


一阶线性非其次常微分方程

\[
y'(x)+P(x)y=Q(x)
\]

的求解公式是

\[
y(x)=e^{-\int P(x)dx}\cdot\biggl[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\biggr]
\]

 


 

[hint]

先求解相应的其次线性常微分方程, 然后使用常数变易法.


 

5. 解方程 $\frac{dy}{dx}=P_0(x)+P_1(x)y+P_2(x)y^2$.

Posted by haifeng on 2017-04-26 20:56:56 last update 2017-04-26 20:56:56 | Answers (1) | 收藏


解方程

\[\frac{dy}{dx}=P_0(x)+P_1(x)y+P_2(x)y^2.\]

6. SIR 模型

Posted by haifeng on 2017-04-26 18:14:37 last update 2017-04-26 18:17:53 | Answers (1) | 收藏


解下面的 ODE 方程组

\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{di}{dt}&=&\lambda si-\mu i,\\
\dfrac{ds}{dt}&=&-\lambda si,\\
s(t)+i(t)+r(t)&=&1,\\
i(0)&=&i_0,\\
s(0)&=&s_0,\\
r(0)&=&0.
\end{array}\right.
\]

 

可以先解出

\[
s(t)=s_0 e^{-\sigma r(t)},
\]

这里 $\sigma:=\frac{\lambda}{\mu}$. 从而有

\[
\frac{dr}{dt}=\mu(1-r-s_0 e^{-\sigma r}).
\]

 


References:

姜启源、谢金星、叶俊 编 《数学模型》(第四版)P.140

7. Bernoulli 方程(伯努利方程)

Posted by haifeng on 2017-04-21 20:27:08 last update 2017-04-23 08:01:31 | Answers (1) | 收藏


\[
y'+P(x)y=Q(x)y^n.
\]

 

这里 $n\in\mathbb{R}$.

当 $n\neq 0,1$ 时, 这是一个一阶非线性 ODE.

[Hint] 应用变换 $u=y^{1-n}$, 可将其变为一个一阶线性 ODE.

8. Riccati 方程

Posted by haifeng on 2017-04-21 20:26:48 last update 2017-04-21 20:26:48 | Answers (1) | 收藏


\[
\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=-x^2 y^2.
\]

 

[Hint] 注意 $(\frac{1}{y})'=-\frac{1}{y^2}y'$.

9. 解方程 $\frac{dx}{dt}=\lambda x(1-x)$, $x(0)=x_0$.

Posted by haifeng on 2017-04-21 19:19:33 last update 2019-02-27 06:18:21 | Answers (0) | 收藏


解方程

\[
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt}&=\lambda x(1-x),\\
x(0)&=x_0.
\end{aligned}
\]

 

这个方程称为 Logistic 模型.  这是 Bernoulli 方程, 具体求解参见 问题1959, 问题1952 .

 

10. 解方程 $\frac{dx}{dt}=\lambda x(1-x)-\mu x$, $x(0)=x_0$.

Posted by haifeng on 2017-04-21 18:47:40 last update 2017-04-21 18:48:27 | Answers (0) | 收藏


求解方程

\[
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt}&=\lambda x(1-x)-\mu x,\\
x(0)&=x_0.\\
\end{aligned}
\]

 

这个方程来自于 SIS 模型.

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