问题及解答

解微分方程 $y''-y'-2y=2xe^{-x}$.

相应的齐次方程为 $y''-y'-2y=0$. 其特征方程是

\[
\mu^2-\mu-2=0\quad\Rightarrow\quad(\mu-2)(\mu+1)=0.\tag{*}
\]

解得 $\mu_1=2$, $\mu_2=-1$.

原非齐次微分方程右侧 $f(x)=2xe^{-x}$,  $\lambda=-1$ 是 (*) 的单根, 故其特解形式为

\[
y=xe^{-x}(ax+b).
\]