问题及解答

求方程 $y^3 y''+1=0$ 满足初始条件 $y(1)=1$, $y'(1)=0$ 的特解.

方程不显含 $x$, 可设 $p(y)=y'(x)$, 于是 $y''(x)=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$. 于是原方程化为

\[
y^3 p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}+1=0.
\]

作分离变量,

\[
p\mathrm{d}p=-y^{-3}\mathrm{d}y.
\]

两边求不定积分, 得

\[
\begin{split}
&\int p\mathrm{d}p=\int (-y^{-3})\mathrm{d}y\\
\Rightarrow\ &\frac{1}{2}p^2=\frac{1}{2}y^{-2}+C\\
\Rightarrow\ &p^2=y^{-2}+C.
\end{split}
\]

注意 $p(y)=y'(x)$, 将初值条件 $y(1)=1$, $y'(1)=0$ 代入, $0=1+C$, 即 $C=-1$. 于是

\[
p^2=y^{-2}-1.
\]

推出

\[
y'=\pm\sqrt{y^{-2}-1}=\pm\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}.
\]

分离变量, 得

\[
\begin{split}
&\frac{y\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2}}=\pm\mathrm{d}x\\
\Rightarrow\ &\frac{\mathrm{d}y^2}{2\sqrt{1-y^2}}=\pm\mathrm{d}x\\
\Rightarrow\ &-\sqrt{1-y^2}=\pm x+C\\
\Rightarrow\ &1-y^2=(x+C)^2.
\end{split}
\]

将 $y(1)=1$ 代入, 得 $0=(1+C)^2$, 故 $C=-1$. 于是解为

\[
1-y^2=(x-1)^2.
\]

化简为

\[
y^2=2x-x^2.
\]

又 $y(1)=1$, 故特解为

\[
y=\sqrt{2x-x^2}.
\]