问题及解答

\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2x-y-1}{x-2y+1}.
\]

先求解方程组

\[
\begin{cases}
2x-y-1=0,\\
x-2y+1=0.
\end{cases}
\]

使用 Sowya 得到解为 $x=1$, $y=1$.

>> A=[2 -1;1 -2]

>> b=[1;-1]

>> solve(A*x==b)

>> 2    -1      1
1       -2      -1

The solution is:
x= E_0 + C_1*E_1 + C_2*E_2
where E_0 is the special solution and the others form the base of the solution:
---------------
E_0     E_1     E_2
------------------------
1       0       0
1       0       0

------------------------

作变换

\[
\begin{cases}
x=X+1,\\
y=Y+1,
\end{cases}
\]

则 $\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y$, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}X$, 原方程化为齐次方程的形式

\[
\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{2X-Y}{X-2Y}.
\]

注意这里并不需要将 $x=X+1$, $y=Y+1$ 代入运算, 因为变换前后的系数矩阵保持不变, 但常数项为零. 这里的齐次指的是$X$和 $Y$的次数相等. 

原方程右边分子分母同除以 $X$, 得

\[
\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{2-\frac{Y}{X}}{1-2\frac{Y}{X}}.
​\]

令 $u(X)=\frac{Y}{X}$, 则 $Y=X\cdot u(X)$, $\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=u+X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}$. 方程变为

\[
u+X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}=\frac{2-u}{1-2u}.
\]

这推出

\[
X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}=\frac{2-u}{1-2u}-u=\frac{2u^2-2u+2}{1-u}.
\]

注意到 $u^2-u+1\neq 0$, 故

\[
\begin{split}
&\frac{(1-2u)\mathrm{d}u}{2(u^2-u+1)}=\frac{\mathrm{d}X}{X}\\
\Rightarrow\ &\frac{-\mathrm{d}(u^2-u)}{2(u^2-u+1)}=\frac{\mathrm{d}X}{X}
\end{split}
\]

两边作积分

\[
\begin{split}
&\int\frac{-\mathrm{d}(u^2-u)}{2(u^2-u+1)}=\int\frac{\mathrm{d}X}{X}\\
\Rightarrow\ &-\frac{1}{2}\ln(u^2-u+1)=\ln|X|+C\\
\Rightarrow\ &(u^2-u+1)^{-\frac{1}{2}}=|X|e^{C}\\
\Rightarrow\ &(u^2-u+1)X^2=C
\end{split}
\]

将 $u=\frac{Y}{X}$ 代入, 得

\[
Y^2-XY+X^2=C.
\]

再将 $X=x-1$, $Y=y-1$ 代入, 得

\[
\begin{split}
&(y-1)^2-(x-1)(y-1)+(x-1)^2=C\\
\Rightarrow\ & x^2-xy+y^2-x-y=C.
\end{split}
\]