问题及解答

求微分方程 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的通解.

注: 我们可以仿照问题1424的做法求出此微分方程的通解.

若现在已经求得 $y''+3y'+2y=3xe^{-x}$ 的通解为

\[
C_1 e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}(\frac{3}{2}x-3).
\]

能否直接由此写出 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的通解?

从通解的结构, 知相应的其次线性微分方程 $y''+3y'+2y=0$ 的通解为 $C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}$.

注意到 $3(x-1)e^{-x}=3xe^{-x}-3e^{-x}$, 于是只要解出 $y''+3y'+2y=3e^{-x}$ 的一个特解即可. 具体地,

记 $y_1=xe^{-x}(\frac{3}{2}x-3)$, 则 $y_1$ 满足

\[
y''_1+3y'_1+2y_1=3xe^{-x}.
\]

若 $y_2$ 是 $y''+3y'+2y=3e^{-x}$ 的一个特解, 则

\[
(y_1-y_2)''+3(y_1-y_2)'+2(y_1-y_2)=3(x-1)e^{-x}.
\]

即 $y_1-y_2$ 是 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的一个特解.

对于微分方程

\[
y''+3y'+2y=3e^{-x},
\]

只需设 $y=axe^{-x}$, 则 $y'=a(1-x)e^{-x}$, $y''=a(x-2)e^{-x}$. 代入得

\[
a(x-2)e^{-x}+3a(1-x)e^{-x}+2axe^{-x}=3e^{-x},
\] 

这推出 $a=3$. 于是特解 $y_2=3xe^{-x}$. 因此, $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的一个特解是

\[
y_1-y_2=xe^{-x}(\frac{3}{2}x-3)-3xe^{-x}=xe^{-x}(\frac{3}{2}x-6).
\]

此微分方程的通解为

\[
C_1 e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}(\frac{3}{2}x-6).
\]