问题及解答

解方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}-\cot\frac{y}{x}$.

这是一个齐次方程. 令 $u(x)=\frac{y}{x}$, 则 $y=xu$, $y'=u+xu'$. 代入原方程, 得

\[
\begin{split}
&u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=u-\cot u\\
\Rightarrow\ &x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\cot u.
\end{split}
\]

(1) 当 $\cot u\neq 0$ 时, 两边除以 $-\cot u$, 得

\[
-\frac{\mathrm{d}u}{\cot u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}\quad\Rightarrow\quad -\tan u\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}.
\]

然后求不定积分, 得

\[
-\int\frac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u=\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x,
\]

这推出 $\ln|\cos u|=\ln|x|+C$. 即 $\cos u=Cx$,  此处 $C\neq 0$.

(2) 当 $\cot u=0$ 即 $\cos u=0$ 时, 原方程为 

\[
u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=u\quad\Rightarrow\quad\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0.
\]

从而 $u\equiv C$, 又 $\cos u=0$, 故 $u=k\pi+\frac{\pi}{2}$. 这说明 $y=(k\pi+\frac{\pi}{2})x$ 也是原方程的解.

综上, 原方程的通解为

\[
\cos\frac{y}{x}=Cx,\quad\text{这里}\ C\ \text{是任意常数}.
\]