问题及解答

\[
\begin{cases}
y'(x)=xy+x,\\
y(0)=1.
\end{cases}
\]

将 $y'=xy+x$ 写为 $y'-xy=x$. 这是一个一阶线性非齐次常微分方程. 设

\[P(x)=-x,\quad Q(x)=x.\]

则

\[
\begin{split}
y&=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\biggl[\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=e^{\int x\mathrm{d}x}\biggl[\int xe^{-\int x\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=e^{\frac{1}{2}x^2}\biggl[\int xe^{-\frac{1}{2}x^2}\mathrm{d}x+C\biggr],
\end{split}
\]

其中

\[
\int xe^{-\frac{1}{2}x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int e^{-\frac{1}{2}x^2}\mathrm{d}(x^2)\stackrel{t=\frac{1}{2}x^2}{=}\int e^{-t}\mathrm{d}t=-e^{-t}+C=-e^{-\frac{1}{2}x^2}+C.
\]

于是,

\[
y=e^{\frac{1}{2}x^2}\Bigl[-e^{-\frac{1}{2}x^2}+C\Bigr]=-1+Ce^{\frac{1}{2}x^2}.
\]

又 $y(0)=1$, 代入得 $1=-1+Ce^0=-1+C$, 这推出 $C=2$. 故解为

\[
y=-1+2e^{\frac{1}{2}x^2}.
\]