解方程

\[\frac{dy}{dx}=P_0(x)+P_1(x)y+P_2(x)y^2.\]

解下面的 ODE 方程组

\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{di}{dt}&=&\lambda si-\mu i,\\
\dfrac{ds}{dt}&=&-\lambda si,\\
s(t)+i(t)+r(t)&=&1,\\
i(0)&=&i_0,\\
s(0)&=&s_0,\\
r(0)&=&0.
\end{array}\right.
\]

 

可以先解出

\[
s(t)=s_0 e^{-\sigma r(t)},
\]

这里 $\sigma:=\frac{\lambda}{\mu}$. 从而有

\[
\frac{dr}{dt}=\mu(1-r-s_0 e^{-\sigma r}).
\]

 

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References:

姜启源、谢金星、叶俊 编 《数学模型》（第四版）P.140

\[
y'+P(x)y=Q(x)y^n.
\]

 

这里 $n\in\mathbb{R}$.

当 $n\neq 0,1$ 时, 这是一个一阶非线性 ODE.

[Hint] 应用变换 $u=y^{1-n}$, 可将其变为一个一阶线性 ODE.

\[
\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=-x^2 y^2.
\]

 

[Hint] 注意 $(\frac{1}{y})'=-\frac{1}{y^2}y'$.

解方程

\[
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt}&=\lambda x(1-x),\\
x(0)&=x_0.
\end{aligned}
\]

 

这个方程称为 Logistic 模型.  这是 Bernoulli 方程, 具体求解参见 问题1959, 问题1952 .

 

求解方程

\[
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt}&=\lambda x(1-x)-\mu x,\\
x(0)&=x_0.\\
\end{aligned}
\]

 

这个方程来自于 SIS 模型.

$J_0(0)=1$, 当 $p > 0$ 时, $J_p(0)=0$. 且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}Y_p(x)=-\infty$.

$J_p(x)\in[-1,1]$.

$J_p(x)$ 有无穷多的零点, 且都是正的. 我们记为

\[
0 < \alpha_{p1} < \alpha_{p2}< \alpha_{p3} < \cdots
\]

$J_p(x)$ 是振荡的, 并且 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}J_p(x)=0$. 更确切地,

\[
J_p(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\Bigl(x-\frac{p\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\Bigr).
\]

$\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}|\alpha_{pk}-\alpha_{p,k+1}|=\pi$.

对于 $0 < p < 1$, $J_p$ 的图像在 $x=0$ 处有一条竖直的切线.

对于 $1 < p$, $J_p$ 的图像在 $x=0$ 处有一条水平切线, 且图像初始时"平坦的".

Hantush Well Function 定义为

\[
W(u,\frac{r}{B})=\int_u^{\infty}\frac{1}{t}\exp\biggl(-t-\frac{r^2}{4B^2 t}\biggr)dt.
\]

这个函数是由 Hantush 和 Jacob 在1955年在水文(hydrology)领域中提出的.

它的 Laplace 变换是

\[
\begin{split}
\bar{W}(s;\frac{r}{B})&=\int_0^{\infty}W(u,\frac{r}{B})\exp(-us)du\\
&=2\biggl(K_0(\frac{r}{B})-K_0(\sqrt{1+s}\frac{r}{B})\biggr)/s,
\end{split}
\]

这里 $K_0$ 指阶数是0的第二类型的修改后的 Bessel 函数(the Modified Bessel Function of the Second Kind), 参见问题1835

$n$ 阶 Bessel 微分方程是指

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0.
\]

这是一个二阶齐次线性微分方程.(两边除以 $x^2$, 可以化为 $y''+p(t)y'+q(t)y=0$.)

它的一般解可以表示为两个基本解的线性组合.

 

这个方程的解被称为阶为 $n$ 的第一类 Bessel 函数, 记为 $J_n(x)$. 关于 $J_n(x)$ 没有简单的表达式. $J_n(x)$ 的两个定义, 一个是无穷级数; 另一个是无穷积分, 其反导数(anti-derivative)不存在.

\[
J_n(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m \frac{(x/2)^{n+2m}}{m!(n+m)!}\quad\text{和}\quad J_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos\bigl[n\theta-x\sin\theta\bigr]d\theta
\]

例如,

\[
J_n(0)=\begin{cases}
1, & n = 0,\\
0, & n > 0.
\end{cases}
\]

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Bessel 函数也可以定义为满足如下递推关系的函数 $Z_n(x)$:

\[
\begin{cases}
Z_{n+1}+Z_{n-1}&=\frac{2n}{x}Z_n,\\
Z_{n+1}-Z_{n-1}&=-2\frac{dZ_n}{dx}.\\
\end{cases}
\]

---

根据 $J_n(x)$ 的这个级数表示,

\[
J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(\frac{x}{2})^{2k+n},
\]

可以得到关于 $J_n(x)$ 的下标平移公式:

\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}\bigl[x^{-n}J_n(x)\bigr]&=-x^{-n}J_{n+1}(x),\\
\frac{d}{dx}\bigl[x^n J_n(x)\bigr]&=x^n J_{n-1}(x).
\end{aligned}
\]

(证明参见Answer链接.)

例如, $J'_0(x)=-J_1(x)$.

这两个公式表明 $J_n(x)$ 是振荡的: 第一个平移公式指出 $\frac{d}{dx}[x^{-n}J_n(x)]$ 在 $x^{-n}J_{n+1}(x)$ 的两个相邻零点之间取值为零. 也就是说, $J_n, J_{n+1}$ 的零点是彼此间隔的. (见下图)

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$J_n(x)$ 的图像:

 

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当 $x$ 增加时, $J_n(x)$ 变得越来越接近 $\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)]$, 也即跟带有与$n$有关的相位移, 衰变如 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 那样的振幅的 cosine 函数非常像. 我们将此写为

\[
J_n(x)\ \sim\ \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)],\quad\text{当}\ x\rightarrow\infty.
\]

类似地, 

\[
Y_n(x)\ \sim\ \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)],\quad\text{当}\ x\rightarrow\infty.
\]

 

 

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修改过的 Bessel 微分方程是指

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+n^2)y=0.
\]

这个方程的解被称为 modified Bessel functions of the first kind and second kinds. 可以写为

\[
\begin{split}
y&=a_1 J_n(-ix)+a_2 Y_n(-ix)\\
&=c_1 I_n(x)+c_2 K_n(x),
\end{split}
\]

其中 $J_n(x)$ 是第一类 Bessel 函数, $Y_n(x)$ 是第二类 Bessel 函数.

$I_n(x)$ 是修改后的第一类 Bessel 函数(modified Bessel of the first kind),

$K_n(x)$ 是修改后的第二类 Bessel 函数(modified Bessel of the second kind).

若 $n=0$, 则修改后的 Bessel 微分方程变为

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-x^2 y=0,
\]

也可以写为

\[
\frac{d}{dx}\biggl(x\frac{dy}{dx}\biggr)=xy.
\]

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第二类修改后的 Bessel 函数有时也称为 Basset 函数, 或 modified Bessel functions of the third kind (Spanier and Oldham 1987, p.499), 或 Macdonald 函数 (Spanier and Oldham 1987, p.499; Samko et al. 1993, p.20). 第二类修改后的 Bessel 函数在 Wolfram 语言中补充为 BesselK[nu, z].

$K_n(x)$ 与第一类修改后的 Bessel 函数 $I_n(x)$ 以及 Hankel 函数 $H_n(x)$ 有密切联系.

\[
\begin{split}
K_n(x)&\equiv\frac{1}{2}\pi i^{n+1} H_n^{(1)}(ix)\\
&=\frac{1}{2}\pi i^{n+1}\Bigl[J_n(ix)+iN_n(ix)\Bigr]\\
&=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-n}(x)-I_n(x)}{\sin(n\pi)}
\end{split}
\]

(Watson 1966, p.185). 关于 $K_n(x)$ 的一个求和公式是

 

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References:

http://curvebank.calstatela.edu/bessel/bessel.htm

http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselDifferentialEquation.html

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html

http://www.math.umbc.edu/~jbell/pde_notes/F_Intro%20to%20Bessel%20Functions.pdf

 

 

 

 

求

\[
\frac{y}{x}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1+x^2 y^2}{1-x^2 y^2}
\]

 

令 $u=x^2$, $v=y^2$, 则方程化为一阶非线性常微分方程: 

\[
\frac{dv}{du}=\frac{1+uv}{1-uv}.
\]