问题及解答

求二阶常系数线性齐次方程

\[
\begin{cases}
y''+2y'+y=0,\\
y(0)=4,\quad y'(0)=-2
\end{cases}
\]

特征方程为 $\lambda^2+2\lambda+1=0$. 求得 $\lambda=-1$ 为二重根. 于是通解为

\[
y(t)=C_1 e^{-t}+C_2 te^{-t}.
\]

\[
y'(t)=-C_1 e^{-t}+C_2(e^{-t}-te^{-t})=(C_2-C_1)e^{-t}-C_2 te^{-t}.
\]

根据初值条件,

\[
\begin{cases}
y(0)=C_1=4\\
y'(0)=C_2-C_1=-2
\end{cases}
\]

解得 $C_1=4$, $C_2=2$. 因此, 解为

\[
y(t)=4e^{-t}+2te^{-t}.
\]