问题及解答

求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.

比如, 最简单的

\[
\begin{cases}
\frac{dy}{dt}=z,\\
\frac{dz}{dt}=-y.
\end{cases}
\]

或者有三个未知函数的微分方程组

\[
\begin{cases}
x'_t=2x-3y+3z,\\
y'_t=4x-5y+3z,\\
z'_t=4x-4y+2z.\\
\end{cases}\tag{*}
\]

[Idea]

处理这种方程组的想法来源于最简单的方程 $\frac{dx}{dt}=ax$ 以及变量的线性变换.

对于 $\frac{dx}{dt}=ax$, 我们都知道它的通解为 $x=Ce^{at}$. 如果方程组形如

\[
\begin{cases}
x'_t=2x,\\
y'_t=-5y,\\
z'_t=2z.\\
\end{cases}
\]

我们自然是会解的, 这里 $x,y,z$ 彼此互不相关. 但对于方程组(*), 或者一般的 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$, 这里 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T$, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 我们可以想办法利用线性变换, 将 $A$ 变成单位矩阵.

对于方程组

\[
\begin{cases}
\dot{y}=z,\\
\dot{z}=-y.
\end{cases}
\]

有 $\ddot{y}=\dot{z}=-y$, 即 $\ddot{y}+y=0$. 其特征方程为 $\lambda^2+1=0$. 解得 $\lambda=\pm\sqrt{-1}=\pm i$.

因此, $y(t)=C_1\cos(t)+iC_2\sin(t)$. 从而 $z=\dot{y}=-C_1\sin(t)+iC_2\cos(t)$.

整理得,

\[
\begin{aligned}
y(t)=C_1\cos t+iC_2\sin t,\\
z(t)=-C_1\sin t+iC_2\cos t.
\end{aligned}
\]

(法二)

按照题目中所提示的思想, 可以设 $y(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-t}$, 但是这种情况下, 有

\[
\dot{y}=C_1e^{t}-C_2e^{-t}=z,\quad\Rightarrow\quad\dot{z}=C_1e^{t}+C_2e^{-t}\not= -y
\]

于是可以令

\[
y(t)=C_1\cos t+iC_2\sin t
\]

从而可以得到解.