求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.
求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.
比如, 最简单的
\[
\begin{cases}
\frac{dy}{dt}=z,\\
\frac{dz}{dt}=-y.
\end{cases}
\]
或者有三个未知函数的微分方程组
\[
\begin{cases}
x'_t=2x-3y+3z,\\
y'_t=4x-5y+3z,\\
z'_t=4x-4y+2z.\\
\end{cases}\tag{*}
\]
[Idea]
处理这种方程组的想法来源于最简单的方程 $\frac{dx}{dt}=ax$ 以及变量的线性变换.
对于 $\frac{dx}{dt}=ax$, 我们都知道它的通解为 $x=Ce^{at}$. 如果方程组形如
\[
\begin{cases}
x'_t=2x,\\
y'_t=-5y,\\
z'_t=2z.\\
\end{cases}
\]
我们自然是会解的, 这里 $x,y,z$ 彼此互不相关. 但对于方程组(*), 或者一般的 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$, 这里 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T$, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 我们可以想办法利用线性变换, 将 $A$ 变成单位矩阵.