问题及解答

求下列微分方程的通解.

\[
y'+\frac{1}{x}y=\frac{\sin x}{x}.
\]

这是一阶线性非齐次常微分方程. 令 $P(x)=\frac{1}{x}$, $Q(x)=\frac{\sin x}{x}$. 则通解为

\[
\begin{split}
y&=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\biggl[\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}+C\biggr]\\
&=e^{-\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}\biggl[\int\frac{\sin x}{x}e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}+C\biggr]\\
&=e^{-\ln|x|}\biggl[\int\frac{\sin x}{x}e^{\ln|x|}\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=\frac{1}{|x|}\biggl[\int\frac{\sin x}{x}|x|\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=\frac{1}{x}\biggl[\int\frac{\sin x}{x}\cdot x\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=\frac{1}{x}\biggl[\int\sin x\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=\frac{1}{x}\Bigl[-\cos x+C\Bigr].
\end{split}
\]