定理. 设函数 $y(x,t)$ 是初值问题
\[
\begin{cases}
y'_x(x,t)+P(x)y(x,t)=0,\\
y(t,t)=Q(t)
\end{cases}
\]
的解, 则 $Y(x):=\int_{x_0}^{x}y(x,t)\mathrm{d}t$ 是下列带初值条件的一阶线性非齐次常微分方程
\[
\begin{cases}
y'(x)+P(x)y(x)=Q(x),\\
y(x_0)=0
\end{cases}
\]
的解.
参见[1] 定理1.
References
[1] 盛佩君, 用齐次化原理解线性非齐次微分方程. 工科数学, 1992 (01): 83--87.
1
若将 $y(x,t)$ 中的 $t$ 视为常数, 则方程 $y'_x(x,t)+P(x)y(x,t)=0$ 是一阶线性齐次常微分方程. 其通解为
\[
y(x,t)=C(t)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}.
\]
事实上, 若 $y\neq 0$, 则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-P(x)y$ 推出 $\frac{\mathrm{d}y}{y}=-P(x)\mathrm{d}x$. 两边积分, 得 $\ln|y|=-\int P(x)\mathrm{d}x+c$. 从而 $|y|=e^c e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$. 又 $y\equiv 0$ 也是解, 故
\[
y=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x}.
\]
由于这里 $y$ 是关于 $x,t$ 的二元函数, 故 $C$ 实际是 $t$ 的函数. 因此方程
\[
\frac{\partial}{\partial x}y(x,t)+P(x)y(x,t)=0
\]
的解为
\[
y(x,t)=C(t)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}.
\]
由条件, $y(t,t)=C(t)e^{-\int P(t)\mathrm{d}t}=Q(t)$, 故 $C(t)=Q(t)e^{\int P(t)\mathrm{d}t}$. 因此, 带此条件的解为
\[
y(x,t)=Q(t)e^{\int P(t)\mathrm{d}t}e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}.
\]
若记 $R(x)=\int P(x)\mathrm{d}x$, 则 $R'(x)=P(x)$, 且
\[
y(x,t)=Q(t)e^{R(t)}e^{-R(x)}=Q(t)e^{-\int_{t}^{x}P(s)\mathrm{d}s}.
\]
令 $Y(x)=\int_{x_0}^{x}y(x,t)\mathrm{d}t$, 则
\[
Y(x)=\int_{x_0}^{x}Q(t)e^{R(t)}e^{-R(x)}\mathrm{d}t=e^{-R(x)}\int_{x_0}^{x}Q(t)e^{R(t)}\mathrm{d}t.
\]
于是
\[
\begin{split}
Y'(x)&=e^{-R(x)}(-R'(x))\int_{x_0}^{x}Q(t)e^{R(t)}\mathrm{d}t+e^{-R(x)}Q(x)e^{R(x)}\\
&=-P(x)e^{-R(x)}\int_{x_0}^{x}Q(t)e^{R(t)}\mathrm{d}t+Q(x),
\end{split}
\]
\[
Y'(x)+P(x)Y(x)=-P(x)e^{-R(x)}\int_{x_0}^{x}Q(t)e^{R(t)}\mathrm{d}t+Q(x)+P(x)e^{-R(x)}\int_{x_0}^{x}Q(t)e^{R(t)}\mathrm{d}t=Q(x).
\]
而 $Y(x_0)=0$ 显然, 故证毕.
注: [1] P.84 第一行 $y=c\exp(\int p(x)\mathrm{d}x)$ 应为 $y=c\exp(-\int p(x)\mathrm{d}x)$.