Questions in category: 流形基础 (Manifolds)
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1. Poincaré-Hopf 定理

Posted by haifeng on 2017-08-12 21:36:54 last update 2017-08-12 22:15:21 | Answers (0) | 收藏


假设 $v$ 是微分流形 $M^n$ 上的向量场, $x$ 是 $v$. 则可以取以 $x$ 为中心的一个闭球 $D\subset M$, 使得 $x$ 是 $v$ 在 $D$ 中唯一的零点. 令 $u:\partial D\rightarrow S^{n-1}$ 为 $z\mapsto\frac{v(z)}{|v(z)|}$ 的映射, 则定义 $v$ 在点 $x$ 处的指标为

\[
\mathrm{index}_x(v):=\deg(u).
\]

这里 $\deg(u)$ 指映射 $u$ 的映射度.

 

Thm. 设 $M^n$ 是紧致带边可微流形, $v$ 是 $M$ 上的向量场. $\{x_i\}$ 是 $v$ 的所有孤立零点组成的集合. 则有

\[
\sum_i \mathrm{index}_{x_i}(v)=\chi(M).
\]

 

此定理的一个直接推论是,

Cor. 若 $M$ 存在一个处处非零(或无处为零)的向量场, 则 $\chi(M)=0$.

Pf. 显然, 此时 $\{x_i\}$ 为空集.

 

 


References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré-Hopf_theorem

2. 流(flow)

Posted by haifeng on 2016-04-07 03:46:10 last update 2016-04-07 03:46:10 | Answers (0) | 收藏


所谓的流(flow)实际上指微分同胚族 $F^t: M\rightarrow M$, 满足 $F^{t+s}=F^t\circ F^s$.

这个性质时测地线关于初始条件唯一性的一个简单推论.

3. $F$-相关向量场

Posted by haifeng on 2015-09-01 09:45:09 last update 2015-09-01 09:45:09 | Answers (0) | 收藏


$M,N$ 是两个光滑流形. 假设 $F:N\rightarrow M$ 是 $C^{\infty}$ 映射, $X$ 是 $N$ 上的 $C^{\infty}$-向量场. 

$M$ 上的 $F$-相关向量场 $Y$ 如果存在则唯一确定, 这当且仅当 $F(N)$ 在 $M$ 中稠密.

4. 微分流形之间的连续映射总有与之同伦的光滑映射

Posted by haifeng on 2015-07-29 16:09:12 last update 2015-07-29 16:09:12 | Answers (0) | 收藏


设 $f:M\rightarrow N$ 为微分流形之间的连续映射, 则存在光滑映射 $g:M\rightarrow N$, 使得 $g$ 和 $f$ 同伦.

 

5. 曲线的有理参数化

Posted by haifeng on 2015-07-29 15:51:10 last update 2015-07-29 15:57:03 | Answers (1) | 收藏


不是所有曲线都可以有理参数化.

例如: 曲线 $x^n+y^n=1$, $n\geqslant 3$ 根据费马大定理, 不存在有理参数化.

 

双纽线的有理参数化, 参见问题1609.

 

 

6. 同伦的光滑化

Posted by haifeng on 2015-07-29 15:45:28 last update 2015-07-29 15:45:28 | Answers (0) | 收藏


Prop. (同伦的光滑化) 设 $f_0,f_1:M\rightarrow N$ 是微分流形之间同伦的光滑映射, 则存在光滑映射 $F:\mathbb{R}\times M\rightarrow N$, 使得

\[
F(t,x)=\begin{cases}
f_0(x),\quad\forall\ x\in M, & t\leqslant 0,\\
f_1(x),\quad\forall\ x\in M, & t\geqslant 1,\\
\end{cases}
\]

7. $M$ 是紧致流形, $F:M\rightarrow\mathbb{R}^N$ 是单浸入, 证明 $F$ 是嵌入.

Posted by haifeng on 2015-07-29 13:42:47 last update 2015-07-29 13:44:20 | Answers (1) | 收藏


$M$ 是紧致流形, $F:M\rightarrow\mathbb{R}^N$ 是单浸入, 证明 $F$ 是嵌入.

 


[hint] 根据嵌入的定义, 只要证 $F:M\rightarrow F(M)$ 是同胚. 为此需要证明 $F^{-1}$ 是连续的.

8. 设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $f|_{A}\equiv 1$, $f|_{B}\equiv 0.$

Posted by haifeng on 2015-07-29 13:06:05 last update 2015-07-29 13:06:05 | Answers (1) | 收藏


设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得

\[
f|_{A}\equiv 1,\quad f|_{B}\equiv 0.
\]

9. 可定向微分流形的连通和仍可定向

Posted by haifeng on 2015-07-21 00:28:55 last update 2015-07-21 00:28:55 | Answers (0) | 收藏


证明: 可定向微分流形的连通和仍可定向.

不可定向微分流形的连通和是可定向的吗?

10. 如果微分流形被两个局部坐标邻域所覆盖, 并且它们的交集连通, 则该流形必定是可定向的.

Posted by haifeng on 2015-07-20 23:48:45 last update 2015-07-21 00:30:56 | Answers (0) | 收藏


证明: 如果微分流形被两个局部坐标邻域所覆盖, 并且它们的交集连通, 则该流形必定是可定向的.

 

 


将此题推广至三个坐标邻域, 此时如何判断流形是否可定向? 更多的坐标邻域呢?

 

Hint:

根据 det 的连续性, 以及转换映射的 Jacobi 行列式处处非零.

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