定义. 流形具有有限拓扑型(finite topological type)

一个(非紧且完备的)开流形 $M^n$ 被称为具有有限拓扑型(finite topological type), 如果 $M^n$ （微分）同胚于某个紧致带边流形 $\overline{M}^n$ 的内部.

流形 $M^*$ 称为流形 $M$ 的一个(分歧)覆盖流形（(ramified) covering manifold）, 如果存在连续满射 $f:\ M^*\rightarrow M$, 对每个 $p^*\in M^*$, 存在 $M^*$ 上一个局部坐标系 $z^*$, 满足 $z^*(p^*)=0$, 以及 $M$ 上一个局部坐标系 $z$ 使得 $z(f(p^*))=0$. 并且, 对正整数 $n$, 使得在所给的局部坐标系下, $f$ 由 $z=(z^*)^n$ 给出.

若 $n > 1$, $p^*$ 被称为 a branch point of order $n-1$, 或 a ramification point of order $n$.

定义. (unlimited covering manifold)  设 $f:\ M^*\rightarrow M$ 是如上所述的映射. 若对 $M$ 上每条曲线 $c$, 及在 $f$ 映射下映到曲线 $c$ 起始点 $c(0)$ 的点 $p^*\in M^*$, 都存在 $M^*$ 上以 $p^*$ 为始点的曲线 $c^*$, 且其在 $f$ 下的像就是 $c$ (即 $f(c^*)=c$), 则称 $M^*$ 是一个 unlimited covering manifold.

注: unlimited covering manifold 翻译成“无限覆盖流形”不知是否恰当?

$M$ 的基本群 $\pi_1(M)$ 和它的光滑无限覆盖流形有密切联系. 若 $M^*$ 是 $M$ 的一个光滑无限覆盖流形, 则 $\pi_1(M^*)$ 同构于 $\pi_1(M)$ 的一个子群. 反之,  $\pi_1(M)$ 的每个子群决定了 $M$ 的一个光滑无限覆盖流形 $M^*$, 使其基本群 $\pi_1(M^*)$ 同构于给定的子群.

定理.  设 $M^*$ 是流形 $M$ 的一个光滑无限覆盖流形, $c_1, c_2$ 是 $M$ 上的两条同伦的曲线. 设 $c_1^*, c_2^*$ 是 $c_1$ 和 $c_2$ 的提升, 且具有相同的始发点. 则 $c_1^*$ 同伦于 $c_2^*$. 特别地, 曲线 $c_1^*$ 和 $c_2^*$ 具有相同的终点.

定义(覆盖变换).  设 $M^*$ 是 $M$ 的覆盖流形, $f:\ M^*\rightarrow M$ 是覆盖映射. 设 $h:\ M^*\rightarrow M^*$ 是 $M^*$ 到自身的同胚映射, 且满足 $f\circ h=f$, 则称 $h$ 是 $M^*$ 的一个覆盖变换(covering transformation).

所有覆盖变换组成的集合在复合映射下构成一个群, 称为覆盖变换群. 称这个群是可迁的(transitive), 只要 $p_1^*, p_2^*\in M^*$ 使得 $f(p_1^*)=f(p_2^*)$, 就存在 $h$ 将 $p_1^*$ 映为 $p_2^*$.

对于 smooth unlimited case, 覆盖变换群是可迁的当且仅当 $\pi_1(M^*)$ 同构于 $\pi_1(M)$ 的一个正规子群, 并且此时, 覆盖变换群同构于 $\pi_1(M)/\pi_1(M^*)$.

当覆盖流形 $M^*$ 由 $\pi_1(M)$ 的平凡群所确定时, 这是一种特殊的重要的情形, 此时我们称 $M^*$ 是 $M$ 的万有覆盖(universal cover)或单连通覆盖(simply connected cover)或同伦覆盖(homotopy cover), 记为 $\tilde{M}$.

$\tilde{M}$ 的基本群是平凡群. 其覆盖变换群(也称复迭变换群 deck transformation group)同构于 $\pi_1(M)$.

参考文献

[1]  Hershel M. Farkas, Irwin Kra,  Riemann Surfaces, 2nd edition.  GTM 71.

由逆映射定理, 我们立即有下面的推论.

推论6.6.  若 $DF$ 在 $W\subset\mathbb{R}^n$ 中每个点处都是非奇异的, 则 $F$ 是 $W$ 上的一个开映射. 

推论6.7.  $C^\infty$ 映射 $F:\ W\rightarrow F(W)$ 成为微分同胚的充要条件是 $F$ 是一一的并且 $DF$ 在 $W$ 的每一点处是非奇异的.

参考 [1] P.46, Corollary 6.6.

参考文献

[1] William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.

假设 $v$ 是微分流形 $M^n$ 上的向量场, $x$ 是 $v$. 则可以取以 $x$ 为中心的一个闭球 $D\subset M$, 使得 $x$ 是 $v$ 在 $D$ 中唯一的零点. 令 $u:\partial D\rightarrow S^{n-1}$ 为 $z\mapsto\frac{v(z)}{|v(z)|}$ 的映射, 则定义 $v$ 在点 $x$ 处的指标为

\[
\mathrm{index}_x(v):=\deg(u).
\]

这里 $\deg(u)$ 指映射 $u$ 的映射度.

Thm. 设 $M^n$ 是紧致带边可微流形, $v$ 是 $M$ 上的向量场. $\{x_i\}$ 是 $v$ 的所有孤立零点组成的集合. 则有

\[
\sum_i \mathrm{index}_{x_i}(v)=\chi(M).
\]

此定理的一个直接推论是,

Cor. 若 $M$ 存在一个处处非零（或无处为零）的向量场, 则 $\chi(M)=0$.

Pf. 显然, 此时 $\{x_i\}$ 为空集.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré-Hopf_theorem

所谓的流(flow)实际上指微分同胚族 $F^t: M\rightarrow M$, 满足 $F^{t+s}=F^t\circ F^s$.

这个性质时测地线关于初始条件唯一性的一个简单推论.

$M,N$ 是两个光滑流形. 假设 $F:N\rightarrow M$ 是 $C^{\infty}$ 映射, $X$ 是 $N$ 上的 $C^{\infty}$-向量场. 

$M$ 上的 $F$-相关向量场 $Y$ 如果存在则唯一确定, 这当且仅当 $F(N)$ 在 $M$ 中稠密.

设 $f:M\rightarrow N$ 为微分流形之间的连续映射, 则存在光滑映射 $g:M\rightarrow N$, 使得 $g$ 和 $f$ 同伦.

不是所有曲线都可以有理参数化.

例如: 曲线 $x^n+y^n=1$, $n\geqslant 3$ 根据费马大定理, 不存在有理参数化.

双纽线的有理参数化, 参见问题1609.

Prop. (同伦的光滑化) 设 $f_0,f_1:M\rightarrow N$ 是微分流形之间同伦的光滑映射, 则存在光滑映射 $F:\mathbb{R}\times M\rightarrow N$, 使得

\[
F(t,x)=\begin{cases}
f_0(x),\quad\forall\ x\in M, & t\leqslant 0,\\
f_1(x),\quad\forall\ x\in M, & t\geqslant 1,\\
\end{cases}
\]

$M$ 是紧致流形, $F:M\rightarrow\mathbb{R}^N$ 是单浸入, 证明 $F$ 是嵌入.

[hint] 根据嵌入的定义, 只要证 $F:M\rightarrow F(M)$ 是同胚. 为此需要证明 $F^{-1}$ 是连续的.