由逆映射定理, 我们立即有下面的推论.

推论6.6.  若 $DF$ 在 $W\subset\mathbb{R}^n$ 中每个点处都是非奇异的, 则 $F$ 是 $W$ 上的一个开映射. 

推论6.7.  $C^\infty$ 映射 $F:\ W\rightarrow F(W)$ 成为微分同胚的充要条件是 $F$ 是一一的并且 $DF$ 在 $W$ 的每一点处是非奇异的.

参考 [1] P.46, Corollary 6.6.

参考文献

[1] William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.

假设 $v$ 是微分流形 $M^n$ 上的向量场, $x$ 是 $v$. 则可以取以 $x$ 为中心的一个闭球 $D\subset M$, 使得 $x$ 是 $v$ 在 $D$ 中唯一的零点. 令 $u:\partial D\rightarrow S^{n-1}$ 为 $z\mapsto\frac{v(z)}{|v(z)|}$ 的映射, 则定义 $v$ 在点 $x$ 处的指标为

\[
\mathrm{index}_x(v):=\deg(u).
\]

这里 $\deg(u)$ 指映射 $u$ 的映射度.

Thm. 设 $M^n$ 是紧致带边可微流形, $v$ 是 $M$ 上的向量场. $\{x_i\}$ 是 $v$ 的所有孤立零点组成的集合. 则有

\[
\sum_i \mathrm{index}_{x_i}(v)=\chi(M).
\]

此定理的一个直接推论是,

Cor. 若 $M$ 存在一个处处非零（或无处为零）的向量场, 则 $\chi(M)=0$.

Pf. 显然, 此时 $\{x_i\}$ 为空集.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré-Hopf_theorem

所谓的流(flow)实际上指微分同胚族 $F^t: M\rightarrow M$, 满足 $F^{t+s}=F^t\circ F^s$.

这个性质时测地线关于初始条件唯一性的一个简单推论.

$M,N$ 是两个光滑流形. 假设 $F:N\rightarrow M$ 是 $C^{\infty}$ 映射, $X$ 是 $N$ 上的 $C^{\infty}$-向量场. 

$M$ 上的 $F$-相关向量场 $Y$ 如果存在则唯一确定, 这当且仅当 $F(N)$ 在 $M$ 中稠密.

设 $f:M\rightarrow N$ 为微分流形之间的连续映射, 则存在光滑映射 $g:M\rightarrow N$, 使得 $g$ 和 $f$ 同伦.

不是所有曲线都可以有理参数化.

例如: 曲线 $x^n+y^n=1$, $n\geqslant 3$ 根据费马大定理, 不存在有理参数化.

双纽线的有理参数化, 参见问题1609.

Prop. (同伦的光滑化) 设 $f_0,f_1:M\rightarrow N$ 是微分流形之间同伦的光滑映射, 则存在光滑映射 $F:\mathbb{R}\times M\rightarrow N$, 使得

\[
F(t,x)=\begin{cases}
f_0(x),\quad\forall\ x\in M, & t\leqslant 0,\\
f_1(x),\quad\forall\ x\in M, & t\geqslant 1,\\
\end{cases}
\]

$M$ 是紧致流形, $F:M\rightarrow\mathbb{R}^N$ 是单浸入, 证明 $F$ 是嵌入.

[hint] 根据嵌入的定义, 只要证 $F:M\rightarrow F(M)$ 是同胚. 为此需要证明 $F^{-1}$ 是连续的.

设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得

\[
f|_{A}\equiv 1,\quad f|_{B}\equiv 0.
\]

证明: 可定向微分流形的连通和仍可定向.

不可定向微分流形的连通和是可定向的吗?