问题及解答

假设 $v$ 是微分流形 $M^n$ 上的向量场, $x$ 是 $v$. 则可以取以 $x$ 为中心的一个闭球 $D\subset M$, 使得 $x$ 是 $v$ 在 $D$ 中唯一的零点. 令 $u:\partial D\rightarrow S^{n-1}$ 为 $z\mapsto\frac{v(z)}{|v(z)|}$ 的映射, 则定义 $v$ 在点 $x$ 处的指标为

\[
\mathrm{index}_x(v):=\deg(u).
\]

这里 $\deg(u)$ 指映射 $u$ 的映射度.

Thm. 设 $M^n$ 是紧致带边可微流形, $v$ 是 $M$ 上的向量场. $\{x_i\}$ 是 $v$ 的所有孤立零点组成的集合. 则有

\[
\sum_i \mathrm{index}_{x_i}(v)=\chi(M).
\]

此定理的一个直接推论是,

Cor. 若 $M$ 存在一个处处非零（或无处为零）的向量场, 则 $\chi(M)=0$.

Pf. 显然, 此时 $\{x_i\}$ 为空集.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré-Hopf_theorem