问题及解答

$M$ 是紧致流形, $F:M\rightarrow\mathbb{R}^N$ 是单浸入, 证明 $F$ 是嵌入.

[hint] 根据嵌入的定义, 只要证 $F:M\rightarrow F(M)$ 是同胚. 为此需要证明 $F^{-1}$ 是连续的.

$F:M\rightarrow\mathbb{R}^N$ 是单射, 又 $F:M\rightarrow F(M)$ 是满射, 因此 $F:M\rightarrow F(M)$ 是一一映射. 可以定义逆映射 $F^{-1}$.

我们要证明 $F^{-1}:F(M)\rightarrow M$ 是连续的.

任取 $U\in\tau_M$, ($\tau_M$ 指 $M$ 的拓扑, 等价于说任取 $M$ 中的开集 $U$), 记 $A=M-U$, 则 $A$ 是 $M$ 中的闭集, 又因为 $M$ 紧致, 所以 $A$ 也是紧集. (紧集的闭子集也是紧的.)

$U$ 在 $F^{-1}$ 之下的原像是 $F(U)$.

\[
(F^{-1})^{-1}(U)=F(U)=F(M-A)=F(M)-F(A),
\]

由于 $F$ 是(光滑)浸入, 所以当然至少是连续的, 因此 $F(A)$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的紧集, 从而也是 $\mathbb{R}^N$ 的闭集.

由于 $F(M)$ 取的是 $\mathbb{R}^N$ 的子拓扑, 所以 $F(A)$ 也在 $F(M)$ 中是闭的, 从而 $F(M)-F(A)\in\tau_{F(M)}$.

故 $F^{-1}$ 是连续的.