双纽线
考虑映射 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$,
\[
f(t)=(\frac{t^3+t}{t^4+1},\frac{t^3-t}{t^4+1}),\quad t\in\mathbb{R}.
\]
证明: $f$ 是单射, 且 $\text{rank}f\equiv 1$. 因此 $f$ 是一个单浸入, 但它不是嵌入, 因为 $f(R)$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的双纽线
\[
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,
\]
双纽线为紧致子集.
问: 双纽线能成为 $\mathbb{R}^2$ 的正则子流形吗?