考虑映射 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$,
\[
f(t)=(\frac{t^3+t}{t^4+1},\frac{t^3-t}{t^4+1}),\quad t\in\mathbb{R}.
\]
证明: $f$ 是单射, 且 $\text{rank}f\equiv 1$. 因此 $f$ 是一个单浸入, 但它不是嵌入, 因为 $f(R)$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的双纽线
\[
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,
\]
双纽线为紧致子集.
问: 双纽线能成为 $\mathbb{R}^2$ 的正则子流形吗?
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设 $f(u)=f(v)$, 即
\[
(\frac{u^3+u}{u^4+1},\frac{u^3-u}{u^4+1})=(\frac{v^3+v}{v^4+1},\frac{v^3-v}{v^4+1}),
\]
推出 $u^3+u=v^3+v$, 即
\[
(u-v)[(u^2+uv+v^2)+1]=0.
\]
从而得 $u=v$, 因此 $f$ 是单射.
(2) 这里取局部坐标系为 $(U,\varphi)=(\mathbb{R},\text{id})$ 和 $(V,\psi)=(\mathbb{R}^2,\text{id})$. 因此, 对于点 $p=t\in U=\mathbb{R}$, 根据 rank 的定义, 有
\[
\text{rank}_p f=\text{rank}J(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))=\text{rank}Jf(p).
\]
而
\[
\begin{split}
Jf(p)&=(\frac{\partial f^1}{\partial t},\frac{\partial f^2}{\partial t})\\
&=\biggl((\frac{t^3+t}{t^4+1})'_t,(\frac{t^3-t}{t^4+1})'_t\biggr)\\
&=\biggl(\frac{(1-t^2)(1+4t^2+t^4)}{(t^4+1)^2},\frac{-(t^2+1)(t^4-4t^2+1)}{(t^4+1)^2}\biggr)\\
&\neq (0,0),
\end{split}
\]
因此 $\text{rank}_p f=1$, 对任意 $p\in\mathbb{R}$. 因此 $f$ 是一个单浸入.
但是 $f$ 不是嵌入,
令
\[
x=\frac{t^3+t}{t^4+1},\quad y=\frac{t^3-t}{t^4+1},
\]
则 $x,y$ 满足
\[
x^2+y^2=\frac{(t^3+t)^2+(t^3-t)^2}{(t^4+1)^2}=\frac{2(t^6+t^2)}{(t^4+1)^2}=\frac{2t^2}{t^4+1},
\]
\[
x^2-y^2=\frac{4t^4}{(t^4+1)^2},
\]
从而
\[
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2.
\]
很显然, $x$ 和 $y$ 不可能趋于 $\infty$. 事实上是有界的.
根据对称性(若 $(x,y)$ 在曲线上, 则 $(-x,y), (-x,-y), (x,-y)$ 都在曲线上), 只需画出第一象限的图形即可. 特别的, 当 $y=0$ 时, $x=0$ 或 $x=\pm 1$. 当 $x=0$ 时, $y=0$.
很容易画出此曲线的图形, 是紧致的. 故而 $f$ 不是同胚, 故不是嵌入.
使用 Mathematica 作图
ParametricPlot[{(t^3 + t)/(t^4 + 1), (t^3 - t)/(t^4 + 1)}, {t, -10, 10}];
接下来, 说明双纽线是否是 $\mathbb{R}^2$ 的正则子流形.