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Questions in category: 微分几何 (Differential Geometry).

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1

脐点(umbilical points)

Posted by haifeng on 2017-08-12 20:54:22 last update 2017-08-12 23:51:32 | Answers (0) | 收藏

二维曲面上一点称为脐点(umbilical points), 如果在这点的局部是 spherical 的, 也就是说这样的点处, 所有方向的法曲率(normal curvatures)都是相等的. 因此, 两个主曲率是相等的, 并且每个切向量都是主方向(principal direction).

 

 

对于亏格为 0 的曲面, 比如椭球面, 根据 Poincaré-Hopf 定理, 至少有 4 个脐点.

 

Open problem

是否欧式空间中每个光滑的拓扑球面至少有两个脐点?

 


References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Umbilical_point

2

[LeBrun] $S^6$ 上没有复结构与度量 $g$ 相容.

Posted by haifeng on 2016-11-06 20:53:03 last update 2016-11-25 22:04:04 | Answers (0) | 收藏

LeBrun 证明了 $S^6$ 上没有复结构与度量 $g$ 相容.

 

References:

C. LeBrun, Orthogonal complex structures on $S^6$, Proceedings of the AMS 101 (1987), 136–138. MR0897084

3

求抛物线绕其准线所得旋转面的两个主曲率的比值

Posted by haifeng on 2014-06-10 11:41:27 last update 2014-06-10 11:41:27 | Answers (0) | 收藏

设 $\Gamma$ 是三维欧氏空间中一张平面上的一条抛物线, $\ell$ 是 $\Gamma$ 的准线. 将 $\Gamma$ 绕其准线 $\ell$ 旋转一周, 得到旋转面 $S$. 求 $S$ 的两个主曲率的比值.

4

微分同胚群

Posted by haifeng on 2014-03-17 09:58:52 last update 2014-03-17 10:04:02 | Answers (0) | 收藏

$M$ 是紧致流形, 考虑 $M$ 上所有黎曼度量组成的空间(记为 $\mathcal{RM}(M)$), 以及 $M$ 上所有黎曼结构组成的空间 (记为 $\mathcal{RS}(M)$).

$\mathcal{RS}(M)$ 是 $\mathcal{RM}(M)$ 在 $M$ 的微分同胚群 $\text{Diff}(M)$ 作用下的商空间, 即

\[\mathcal{RS}(M)=\mathcal{RM}(M)/\text{Diff}(M).\]

只要 $\dim M\neq 0$, $\text{Diff}(M)$ 不是局部紧的, 它是一个很大的群.

微分同胚群具有两个自然的拓扑, 分别称为弱拓扑和强拓扑.

当流形是紧致的, 这两个拓扑是等价的. 弱拓扑总是可以度量化的.

当流形非紧时, 强拓扑捕获函数“在无穷远处”的行为, 且也不是可度量化的, 但仍是 Baire 的.

 

References:

Hirsch, 1997

 

5

微分几何与拓扑中的一些问题

Posted by haifeng on 2013-12-30 13:49:59 last update 2014-08-04 20:00:04 | Answers (0) | 收藏

微分几何与拓扑中的一些问题

    主要参照
    原文: Some problems in differential geometry and topology
    作者: S K Donaldson
    杂志: Nonlinearity 21 (2008) T157-T164
    (注意: 本文是译注, 所以不一定按原文逐字逐句翻译.)


摘要

    本文不打算成为一篇系统性的综述或者给出一份综合性的问题清单. 我们概要性地介绍一下
    三个不同领域中作者所感兴趣的一些问题. 专家们当然不会在这篇文章中学到什么新东西. 我们的目的是对那些不是这方面专家的读者给出这些领域的一个大致描述.


低维拓扑和辛拓扑

我们这里假定读者了解所谓流形的分类以及相关主题, 例如 3 维欧氏空间中的纽结.

定义 [流形的分类]
    我们这里所指的流形的分类是指在微分同胚下的分类.

定义 [纽结]
纽结是指圆周(或就称为圆)在三维欧氏空间中的嵌入.

当然我们实际上要寻找的是可能发生的现象, 而不是一长串分类清单.

2~维流形的分类
2~维流形的分类是熟知的. 这可追溯到19世纪拓扑学科的开始.

定理. [分类定理]
任意一个紧致连通曲面都同胚于 $S^2, mT^2, mP^2$ 其中之一.

这里 $T^2$ 是指环面, 可视为由 $S^2$ 添加一个环柄得到.  $mT^2$ 指 $m$ 个环面作连通和, 即 $\underbrace{T^2\# T^2\#\cdots\# T^2}$,  可视为由 $S^2$ 添加 $m$ 个环柄得到.
 $P^2$ 是射影平面, 可认为是 $S^2$ 挖去一个小圆盘, 然后将边界与 Möbius 带的边界粘合后得到的曲面.  $mP^2$ 是指球面 $S^2$ 挖去 $m$ 个
互不相交的小圆盘后, 在这些边界圆周上分别粘上 Möbius 带的边界而得到的紧致曲面.

任何一个 2 维紧致连通曲面, 都可以由 3 种基本曲面通过离散群作用求商集得到.
这三基本曲面是 2 维球面, 欧氏平面, 双曲盘面.


高维流形的分类

这里的高维流形是指 5 维及 5 维以上的流形. 这个主题自 20 世纪中叶发展以来
已变成一个极其庞大, 广泛的领域. 事实上将所有流形作分类是不切实际的.


命题. 任何有限表示群可以作为一个 4 维或更高维流形的基本群.


因此需要对所有这种群有一个分类.

我们这里的意思是这些广泛的拓扑问题可被转化为代数问题, 而后者在许多情形
是比较容易驾驭的.

3 维流形的分类

通过 Perelman 最近关于 Thurston 几何化猜测的工作, 3 维流形的分类应该是可以
被理解的.


4 维流形的分类
通过考察"哪些是可以发生的现象"的例子, 4 维流形的东西已经知道得比较多了. 但是
仍然不能给出一个系统的刻画, 即使在大多猜测的层面上.

 

我们这里要讨论的就是 4 维的情形.

自 1980s 以来随着新的不变量的引入, 这方面已经取得了重大的进展, 我们下面会更多的讲述这些内容. 这些新的不变量被用来区分一些以前用经典代数拓扑中的
不变量(如同调群, 同伦型等)所不能区分的 4 维流形. 但是这些新的不变量在某种意义下是否
是"充分的"我们还完全不清楚, 或者另一方面, 这些新的不变量是否将我们的理解提升或前进了
一些等级. 解释这一点最好的方式是考虑一个具体的例子. 我们就用 Fintushel 和 Stern
的构造来举例(当然在一些著作中有很多类似的例子可用来讨论). Fintushel 和 Stern 从有名
的"标准" 4 维流形: "K3 曲面" $X$ 作为开始. 直到 1980s 早期, 人们才可能似乎有理由猜测任意与 $X$ 有相同经典不变量的 4 维流形微分同胚于 $X$.
但 Fintushel 和 Stern 证明这个猜想是不成立的. 他们在通常的 3 维空间中任取一个
纽结, 并利用这个纽结通过某个手术过程定义一个流形 $X_K$, 这个手术过程是将 $X$ 中某个
部分切掉, 然后粘上另一小块, 这个粘合是由 $K$ 确定的. 他们证明 $X_K$ 的这些新的不变量(Seiberg-Witten 不变量)可检测纽结 $K$ 的 Alexander 多项式
---一个非常著名的纽结不变量(自 1920s 被发现以来借助 $K$ 在 3
维空间中的补的代数拓扑知识已被彻底理解了). 因此, 首先这给出了具有相同同伦型的 4 维流形类中存在相当多的
互不等价的 4 维流形. 这是因为, 我们可以选取某个纽结来实现任意指定的 Alexander 多项式. 但是, 反过来, 容易找到具有
相同 Alexander 多项式的两个纽结 $K,K\'$. 因此, 我们可以问 $X_K,X_{K\'}$ 是否是等价的?
这个问题完全超出了我们的能力范围. 或者, 稍微不太精确地, 我们可以问是否存在某个有用的
手术过程, 它生成了所给定的同伦型的所有流形?

在 4 维拓扑中, 一个著名的问题是是否也存在某个东西可以扮演 Thurston 几何化猜测在 3  维流形中的角色.
这个东西或许可以指导我们作进一步的研究. Thurston 理论中的核心思想(可在该猜测的通过Ricci  流的证明中找到)是考虑流形上的那些在
拓扑问题中不直接表现的结构. 对于 3 维流形, 我们取这些结构为黎曼度量. 自然地, 会问:
在 4 维流形上是否也存在这种有助于理解其拓扑的结构? 当然, 并没有坚实的基础来支持这是正确的前进方向. 如果存在的理解光滑 4 维流形的皇家大道, 那它
一定是十分不同的. 但是任何情况下在这个方向上的工作都将导致在其自身来看是十分有意义的
许多其它问题. 这样的工作主要是沿着两条主线展开的.

一条是紧按 3 维的模式, 即研究 4 维流形的黎曼几何.  3 维时的几何化猜测中的常曲率
度量在 4 维时的自然推广就是 Einstein 度量. 当然, 我们也可以考虑其它各种不同的
"优化"度量. 已知的一个好的处理是 LeBrun, Anderson 和其他人[1,11]的工作.

4 维流形的许多令人惊奇的特殊特征, 通过黎曼曲率张量的 $L^2$ 范数(及其不可约分量)表现出来. 另一方面, 这在 4 维是一个 scale 不变量, 它对于分析问题有重要意义. 另一方面, 通过
 Chern-Weil 理论, 这个不变量可与经典的拓扑不变量如指标和 Euler 示性类相联系.
 

从 3 到 4 维的一个本质困难在于我们不知道 4 维流形上 Einstein 度量的分类. 即使,
如果(非常优化地) Ricci 技巧可用某种方式被推广到 4 维, 从而比方说导出一般 4 维
流形可分解成一些 Einstein 小块,---这并不直接导致纯粹的拓扑结论. (关键是在 3 维时,
Ricci 张量等价于全曲率张量, 故 Einstein 度量具有常曲率, 并且流形是 3 个标准空间形式的商空间. 但在 4 维或更高维时, 曲率张量有另一个组成部分: Weyl 张量.)

另一条路径是, 去考虑辛结构. 事实上, 自 1980s 以来, 4 维流形理论的发展已经与更广的
辛拓扑领域的发展平行了. 部分的这必与技巧间的结构类似性有关.

上面我们简要提到的新的 4 维流形的不变量落入更广的枚举不变量的模式.

它们被定义为椭圆偏微分方程 Yang-Mills instanton equation (早期形式)的解得个数, 或是
 Seiberg-Witten 方程(自 1994 年以来的最新进展)的解的个数.

在辛拓扑中, 类似的不变量是 Gromov-Witten 不变量. 它被定义为全纯曲线的个数. 这些全纯
曲线是各种变形的 Cauchy-Riemann 方程的解.

这两种理论都与代数几何, 枚举问题的悠久历史以及数学物理有着紧密联系. 两个理论都由此
产生了"Floer 同调"的思想. 所有这些现在已发展为一个十分庞大的领域. 其中源于低维拓扑
和辛拓扑的思想交织在一起. 举个例子,  Orzsvath 和 Szabo 的 Heegard 不变量(它在
很大程度上等价于 Seiberg-Witten 不变量)是基于在 2 维流形的对称积中所进行的各种
辛 Floer 理论的构造. 自 1990 年另一理论: 纽结的 Jones 多项式理论发展后, 它们被联系在一起了. Khovanov 发现了一个纽结不变量, 其输出是一bigraded homology group,
它将 Jones 不变量作为它的 Euler 示性类(当将其中一个grade塌缩时). Seidel 和 Smith [13] 证明了这个 Khovanov 同调(至少部分的)可以用 Floer 理论来解释.
与此同时, 与 $3$ 维流形上的 contact 结构有了进一步的发展, 这归功于 Eliashberg, Givental  和 Hofer[6] 以及 Hutchings 和 Taubes.  作者不具备这方面的知识来系统
阐述所有这些理论. 我们仅仅指出如何来理解所有这些思想是怎样组合在一起的.

从这些新技巧之间的结构相似性及联系转过来, 我们可以回过来更直接地问, 对于 4
维流形上的辛结构的分类我们可以说些什么, 并且这是否能对一般的分类问题照亮前进的道路?
通过 Taubes 自1990s中期的著名工作[14], 已经有了非常好的发展, 但同时也有一些基本问题
我们还一无所知. Taubes 的最简单结果是 4 维辛流形上的 Seiberg-Witten 不变量必为 $+1$. 举个例子, Fintushel-Stern 流形 $X_K$ 只有当 Alexander 多项式的首项系数为 $1$ 时, 才是辛流形. 进一步的, 将 Gromov 和 McDuff 的思想与 Taubes 的结论结合起来, 可导出 Liu  的
分类定理. 对于紧致 4 维辛流形 $(M,\omega)$, 我们可以赋予一基本的数值不变量 $\kappa:$
\[
\kappa=\int_M c_1(M)\wedge\omega,
\]
其中 $c_1(M)$ 指 $M$ 切丛的第一陈类(这是定义好的, 因为辛群约化至酉群). 于是
Liu 对 $\kappa>0$ 的辛流形作了分类: 除标准的如有理复曲面和 2 维球丛之外没有其它的例子了.

这是该主题中所知道的惟一的一般性分类定理. 可以尝试着在这方面做点东西.
举个例子, 当 $\kappa=0$ 时推广到边界情形(或许可以猜测仅有的例子只能是 K3 曲面和环面丛),
但这看起来并不简单. 一个一般性的问题是给定基本的拓扑不变量 $[\omega], c_1(M)$, 4 维流形上的辛结构在微分同胚意义下是否是惟一的?

注意这两条途径, 即通过黎曼几何及辛几何, 它们并非不相交的. 它们的重合部分就是
复曲面和 Kahler 几何的理论. 在这种情况下, 不变量 $\kappa$ 可以被认为是
平均数量曲率, 并且与 Kodaira 维数相关.

Kähler 几何

Kähler 流形是指赋予了黎曼度量的一个复流形, 且该黎曼度量与复结构是相容的.
特别的, 它既是黎曼流形, 又是复流形, 也是一个辛流形.
\[
U(n)=O(2n)\cap GL(n,\mathbb{C})\cap Sp(2n).
\]
首先, 我们要求每个切空间上的黎曼内积是由 Hermitian 形式诱导的. 这意味着黎曼度量可等价地被视为一个 2 -形式 $\omega$, 它是 Hermitian 形式的虚部.
第二, 我们要求满足一个可微条件, 它可以表述为几种等价形式. 其一是 $\omega$ 是一闭形式(从而定义了一个辛结构, 如在前一节中讨论的.) 另一种是由 Levi-Civita 联络定义的切向量的平行移动与复数的数乘可交换(这可以借助于和乐群来表述, 这将在下一节中讨论.) 在局部复坐标系 $z_a$ 下, 任何 Kähler 度量可以用 Kähler 势 $\phi$ 来表示:
\[
\omega=i\sum_{ab}\dfrac{\partial ^2\phi}{\partial z_a\partial \bar{z}_b}\mathrm{d}z_a\mathrm{d}\bar{z}_b.
\]

在过去半个世纪, 许多工作集中在 Kähler 流形的 Ricci 张量, 其与体积形式密切相关. 当第一陈类 $c_1(M)$ 是 Kähler 类的一个复数倍时, 即 $c_1=\lambda[\omega]$, 我们可以找到一个 Kähler-Einstein 度量使得 $Ricci=\lambda\omega$. 寻找这个度量
可以归结为解一个关于 Kähler 势 $\phi$ 的一个非线性二阶偏微分方程. 这个问题是由Calabi 在 1950s 提出的, 并在 1970s 通过 Yau 和 Aubin 的著名的工作完成了对于 $\lambda\leqslant 0$ 的证明. 在后来的 1980s, Tian 解决了复 2 维时 $\lambda>0$ 的情形[15], 高维的情形依然是个开问题.

存在另一个更一般性的问题圈, 这仍可追溯到 Calabi 的工作.
这些问题涉及极值 Kähler 度量的存在性, 所谓的极值 Kähler 度量根据定义是指黎曼曲率张量的 $L^2$ 范数的最小值, 此 $L^2$ 范数可视为在一固定的上同调类 $[\omega]$ 之下的 Kähler 度量空间上的一个泛函.
Kähler-Einstein 度量是极值度量的一个特殊例子. 但后者( Kähler-Einstein 度量更一般, 非仅限于 $c_1=\lambda[\omega]$ 的情形.) 极值条件可归结为一个更为艰难的偏微分方程, 阶数为 4 或 5 , 这取决于问题的确切条件.

至少有两条不同的途径来研究这些问题. 一条着重于黎曼几何. 于是 Tian 关于复曲面上Kähler-Einstein 度量的分析的主要部分是关于 4 维
 Einstein 流形的一个一般性的紧性结果.

我们必须考虑满足如下要求的 Einstein 度量:

1. 固定体积,
2. 直径有上界,
3. 黎曼曲率张量的 $L^2$ 范数有上界.
 

如我们在第一节中提到的, 第三个条件在实的 4 维(即复 2 维)时是特别强有力的一个条件,
但在更高维时没有太大用处. 若给定 Ricci 张量一个界, 则通过 Bishop-Gromov 的关于测地球的体积增长不等式, 前两个条件排除了局部塌缩(\'local collapsing\')的流形. 相关的紧性定理(由 Anderson 和 Nakajima 在 1980s 证明)断言满足
这些条件的一列 Einstein 度量, 必存在一子列收敛到一\'orbifold\'度量. 在 orbifold 中的点处, 该子列 is modelled on shrinking \'gravitational instantons\' in a well-understood way.

同样的思想(至少在某种程度上)可以应用到复曲面上极值度量的存在性问题上. 根据极值度量的定义, 我们对曲率张量的 $L^2$ 范数仍然有一控制, 但对比上面的 Einstein 情形, 我们既失去了对直径的控制, 也没有 Bishop-Gromov 理论. 然而, 在特殊情形下, Tian 的论述提供了一个有效的代替, 并导致了一个新的存在性定理[4,16].

我们要讨论的第二条路径与非线性偏微分方程有更多的联系. 在局部坐标系下, Kähler-Einstein  理论中涉及到的方程的原型是复 Monge-Amp\`{e}re 方程.
\begin{equation}\label{eq:complex-Monge-Ampere-equation}
\det\biggl(\dfrac{\partial ^2\phi}{\partial z_a\partial \bar{z}_b}\biggr)=1.
\end{equation}
类似的, 可以表明极值方程的原型是关于 Kähler 势 $\phi$ 的一个 4 阶 PDE,
它可以写成如下简洁的形式:
\begin{equation}\label{eq:2}
\sum \phi^{ab}\dfrac{\partial ^2 L}{\partial z_a\partial \bar{z}_b}=0;\quad L=\log\det\biggl(\dfrac{\partial ^2\phi}{\partial z_a\partial \bar{z}_b}\biggr).
\end{equation}
(这个方程组定义了零数量曲率的度量, 它是极值度量的原型. 我们用记号 $\phi^{ab}$ 记指
矩阵 $\frac{\partial ^2\phi}{\partial z_a\partial \bar{z}_b}$ 的逆矩阵.)

如果将 $\mathbb{C}^n$ 中某个域上的函数 $\phi$ 换成 $\mathbb{R}^n$ 中某个域上的函数 $f$,
并且将微分算子 $\frac{\partial ^2}{\partial z_a\partial \bar{z}_b}$ 换成通常的 Hessian $\frac{\partial ^2\phi}{\partial x_i\partial x_j}$. 则(\ref{eq:complex-Monge-Ampere-equation}) 变为实的 Monge-Amp\`{e}re 方程:
\begin{equation}\label{eq:real-Monge-Ampere-equation}
\det\biggl(\dfrac{\partial ^2 f}{\partial x_i\partial x_j}\biggr)=1,
\end{equation}
这里 $f$ 是一凸函数.

第二个方程(\ref{eq:2})可被视为特殊的(实版本或复版本的) 4 阶偏微分方程组. 我们任取一
单元实变量凸函数 $S(t)$ 并分别(形式上地)考虑下述两种版本的泛函
\[
\mathcal{F}_{\mathbb{R}}=\int_{\mathbb{R}^n}S\Biggl(\biggl(\dfrac{\partial ^2 f}{\partial x_i\partial x_j}\biggr)\Biggr),\quad
\mathcal{F}_{\mathbb{C}}=\int_{\mathbb{C}^n}S\Biggl(\biggl(\dfrac{\partial ^2 \phi}{\partial z_a\partial \bar{z}_b}\biggr)\Biggr).
\]
Euler-Lagrange 方程 $\delta\mathcal{F}_{\mathbb{R}}=0,\,\delta\mathcal{F}_{\mathbb{C}}=0$ 可以
写成如(\ref{eq:2})中的形式, 或实版本的形式. 当取 $S(t)=t\log t$ 时, (\ref{eq:2}) occurs in complex case. 在其他著作中研究的另一个例子是在实的情形, 即定义 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中" 仿射极小超曲面"所用的方程. 这种类型的其他方程已经被 Trudinger 和 Wang [17]研究过了.
 

处理实的 Monge-Amp\`{e}re 方程有着一套庞大的理论. 一个著名的结果是:
定理.
(\ref{eq:real-Monge-Ampere-equation})在 $\mathbb{R}^n$ 上的整体解是二次函数.

这个结果 2 维时由 Jörgens 证明,  Calabi 和 Pogorelov 证明了高维的情形.

复的情形, 即对于(\ref{eq:complex-Monge-Ampere-equation})在 $\mathbb{C}^n$ 上的解,
如果有类似讨论, 则将对理解紧致流形上的 Kähler-Einstein 度量起重要的作用.
(当我们作 rescaling 或 blow-up 论述时, 从紧致流形到 $\mathbb{C}^n$ 的过渡就会出现.)
但这复情形的类似结论我们不知道.

总之, 从 PDE 的角度,  Kähler 几何中的这些问题首先引导我们尝试将实的Monge-Amp\`{e}re 理论的深层结果拓展到复的情形,
其次引导我们去研究如(\ref{eq:2})那种更为艰深的 4 阶方程.
 

第三节. 特殊的和乐群以及 calibrated 几何

黎曼流形 $M$ 上的 Levi-Civita 联络定义了切向量沿曲线的平行移动.
围绕起点和终点是同一固定点 $p$ 的闭回路的平行移动给出了切空间 $T_p M$ 的一个自同构(正交变换). 并且所有这些变换的集合实际上是正交群的一个
李子群: 黎曼流形的和乐群(holonomy group).

二十世纪五十年代(1950s), Berger 发现所有可能的和乐群很少 (leaving aside the rigid "symmetric spaces").

一般情形, 当 $M$ 的维数为 $n$ 时, 是 $SO(n)$.

若 $n=2m$ 是偶数, 且 $M$ 是一复 $m$ 维的 Kahler 流形, 一般的我们得到和乐群是 $U(m)$, 但当 Ricci 张量为零时, 和乐群为 $SU(m)$.

若 $n$ 可被 4 整除, 这涉及到四元数(quaternion)结构.

两个例外情形, 7 维和 8 维的情形. 他们与特殊的代数结构有关, 如 Cayley 数.
%但是它们也适合与 spinor 相关的低维现象的

对每个维数 $n$, 我们有 $\text{spin}(n)$( $SO(n)$ 的一个二重覆盖)的一个 spin 表示 $S$,
它与各种不同的代数结构有关, 这取决 $n$ 模 8 的余数.

对于 $n\leqslant 6$,  spin 表示是非常小的,
\[
\text{spin}(3)=SU(2),\quad \text{spin}(4)=SU(2)\times SU(2),\quad \text{spin}(5)=Sp(2),\quad \text{spin}(6)=SU(3).
\]

当 $n=7$ 时, spin 表示给出了 $SO(8)$ 的一个子群 $\text{spin}(7)\subset SO(8)$ .并且这是 8 维时的一个异常和乐群, 出现在 Berger 的列表中. 该子群 $\text{spin}(7)$ 可迁地作用在 $R^8$ 中的单位球上, 并且一点的稳定子群定义了 $\text{spin}(7)$ 的一个子群 $G_2\subset\text{spin}(7)$. 这表明, $G_2$ 可视为 $SO(7)$ 的一个子群. 它是 7 维时的另一个异常和乐群.

关于这些具有异常和乐群 $G_2,\text{spin}(7)$ 的黎曼度量的研究目前是一个十分活跃的领域.
这些有趣的特殊现象, 如上面概述的, 或许可以被视为属于"低维"和"高维"黎曼几何的分界线上.


从现在开始, 我们专门讨论 7 维流形和和乐群 $G_2$. 上面概述中的定义指的是具有平行
旋量场(spinor field)的流形, 这是一种刻画. 但存在有许多种等价的刻画. 从其中一种观点, 我们可以把该结构看作切向量的"叉积(cross-product)", 类似于 Cayley 数的虚部或熟悉的 $\ Real^3$ 中的叉积. 从另外一种观点, 我们可以将该结构
理解为 $M$ 上的一个 3-形式 $\phi$. 通过纯代数过程, 这决定了一个黎曼度量 $g(\phi)$, 因此有 4-形式 $*_{g(\phi)\phi}$. 类似于在 Kahler 几何中的微分条件是,  $\phi$ 和$*_{g(\phi)\phi}$ 都是闭的.

这些黎曼流形的整体理论实际是从 Joyce 的工作开始的. Joyce 构造了紧致的例子. Kovalev 给出了一个不同的构造, 并产生了进一步的例子. 他们的工作为对所有具有和乐群 $G_2$ 的紧致流形作分类这个问题提供了一个开端. 更为确切地,
人们想知道

 

  • 何种 7 维流形具有和乐群是 $G_2$ 的黎曼度量?
  • 若 $M$ 是这样的流形, 请刻画所有这种度量在微分同胚意义下的"模空间(moduli space) $\mathcal{M}$". (为更精确起见, 我们将取合痕于恒同映射的微分同胚.)



与第一个问题相关的在拓扑上的各种限制是知道的, 特别的是单连通时的情形, 此时
如同在第一节中指出的, 我们对问题中的 7 维流形有很好的一个拓扑分类, 特别当 $H_2(M)=0$ 时.

与第二个问题相关的是, 我们有映射 $\pi:\mathcal{M}\rt H^3(M;\mathbb{R})$, 它将 $g(\phi)$ 映为 $\phi$ 的 de Rham 上同调类(类似于第二节中的 Kahler 类 $[\omega]$). 并且已经知道这个映射是一局部
微分同胚. 于是 $\pi$ 的象是 $H^3(M)$ 中的一个开集 $U\subset H^3(M)$. 第二个问题的一个改进提法是问如何刻画 $U$, 且 $\pi$ 是否是 $\mathcal{M}$ 到 $U$ 上的一个整体微分同胚.

对于这些问题我们知之甚少. 类似于第二节中讨论的关于黎曼度量的紧致性结果与第二个问题十分相关. 该方向的许多进展已由 Cheeger 和 Tian 所作出. 假设我们有一列具有和乐群 $G_2$ 的
黎曼流形, 它们标准化为体积 1, 且具有有界直径. 则 Cheeger 和 Tian 证明了存在一个子列, 收敛到一个可能带有奇点的余维数至少是 4 的奇性空间.
粗略地说, 在普通点与奇异集横截的图像与在 Einstein 4 -维流形时碰到的一样 modelled on shrinking gravitational instantons. 于是, 如果我们取 $\mathcal{M}$ 中的一个序列, 取适当的子列, 则要么我们将看到这种"orbifold 收敛"的情形, 要么直径必须趋于无穷大.
这个二选一的结论对于已知的例子可以看到贴合得非常好. Joyce 和 Kovalev 的构造是利用分析手段作"粘合"这种方法, 这本质上分析了 $U$ 边界上的点的小邻域中的状况. Joyce 的构造导出了第一种类型的子列, 而 Kovalev 的构造导出了第二类型的子列.

7 维和 8 维的异常结构符合由 Harvey 和 Lawson 提出的 calibrated geometry 中的一般情形. 意思是可以定义满足一阶偏微分方程组的特殊类型的极小子流形. 原型是 Kahler 流形的复子流形类, 其总是极小的. 另一类是由和乐群为 $SU(m)$ 的ambient流形的"特殊Lagrangian 子流形"提供的.

在和乐群为 $G_2$ 的流形中, 我们有"associative"的 3 -维子流形, 以及"co-associative" 的
 4 维子流形. 在高维时有类似的 Yang-Mills 瞬子方程(Yang-Mills instanton equation).
这些理论具有第一节中讨论的定义"枚举不变量"所需的基本微分几何性质. 粗略地说, 需要数一下特殊拉格朗日子流形以及 co-associative 子流形等的数目. 可以预期这种理论可以
应用到具有特殊和乐群的流形的分类问题上, 并且应该与理论物理中的 $M$ -理论的发展相适应.
人们在此方向上已经作了许多工作, 特别是 Joyce 关于特殊拉格朗日子流形的工作[9]. 但是总的突出困难涉及到上述讨论的黎曼度量的类似一般的紧致性问题.
很显然我们必须要考虑奇异解的一个先验估计, 但是在把微分几何结构推广到这些...上时存在严重的障碍.
回到原型复子流形上: 我们比较熟悉奇异复子簇(singular complex subvariety), 并且我们可以用交换代数和代数几何的所有资源去处理它.
在这些其他 calibrated geometry 中, 我们期望碰到同等复杂度的现象, 但是我们没有同样的代数机制可依赖.


附录: 一些概念

Floer 同调

 Morse 同调是光滑流形上的同调理论, 它借助其光滑结构和黎曼度量来定义. 但这些都是
辅助的, 最后会证明 Morse 同调不依赖于它们. 并且可推出 Morse 同调等同于奇异同调.
 Morse 同调可作为各种无穷维同调理论(如 Floer 同调)的模型.

Yamabe 不变量也称为 $\sigma$ 常数


Calibrated 几何

Calibrated 几何理论是由 Harvey 和 Lawson 提出的, 属于微分几何领域.
定义 [calibrated 流形]
设 $(M,g)$ 是一 $n$ 维黎曼流形, 其上有一微分 $p$ -形式 $\phi$ , 其中 $0\leqslant p\leqslant n$, 我们称该流形上的几何是 calibrate 的(或称此流形是 calibrated 流形), 如果

  • $\phi$ 是闭形式, 即 $d\phi=0$, 这里 $d$ 是外微分算子;
  • 对任意 $x\in M$, 以及 $T_x M$ 的任意 $p$ 维可定向子空间 $\xi$, 有
      \[
      \phi|_\xi=\lambda\rm{Vol}_\xi,
      \]
      其中 $\lambda\leqslant 1$,  $\rm{Vol}_\xi$ 是 $\xi$ 关于度量 $g$ 的体积形式.


令 $G_x(\phi):=\{\xi\mid\phi|_\xi=\rm{Vol}_\xi\}$.  (为了使得理论的非平凡性, 我们得
假设 $G_x(\phi)$ 是非空的.) 令 $G(\phi)=\cup_{x\in M}G_x{\phi}$.

定义 [calibrated 子流形]
 $M$ 的一个 $p$ -维子流形 $\Sigma$ 称为是关于 $\phi$ 的 calibrated  子流形
(或 $\phi$ -calibrated 子流形), 如果 $T\Sigma\subset G(\phi)$.


命题.
$p$-维 calibrated 子流形是其所在同调类中体积最小的子流形.

证明.
假设 $\Sigma'$ 与 $\Sigma$ 同调, 则
\[
\int_{\Sigma}\rm{Vol}_\Sigma=\int_{\Sigma}\phi=\int_{\Sigma\'}\phi\leqslant\int_{\Sigma}\rm{Vol}_{\Sigma'}\, .
\]
 

 

6

四维流形上 Hodge 星算子的一些简单性质

Posted by haifeng on 2013-07-10 11:02:39 last update 2013-07-10 11:02:39 | Answers (1) | 收藏

设 $(M,g)$ 是可定向闭的 $4$ 维黎曼流形, 记 $\Omega^2=\Omega^2(M)$ 是 $M$ 上的 $2$ 次微分形式组成的向量空间. 由 $g$ 定义的 Hodge 算子限制在 $\Omega^2$ 上的作用 $*_g:\ \Omega^2\rightarrow\Omega^2$ 显然满足 $*_g^2=\text{id}_{\Lambda^2}$. 根据 $*_g$ 的特征值, 可以将 $\Omega^2$ 分解为下面两个子空间的直和
\[
\Omega^2=\Omega^{2,+}\oplus\Omega^{2,-}
\]
其中 $\Omega^{2,+}:=\{\alpha\in\Omega^2\mid *_g\alpha=\alpha\}$, $\Omega^{2,-}:=\{\alpha\in\Omega^2\mid *_g\alpha=-\alpha\}$. 它们分别被称为 $*_g$ 在 $\Omega^2$ 上的自对偶和反自对偶空间.

任取某个 $1$ 形式 $\gamma\in\Omega^1(M)$, 令 $\theta=P_g^{+}d\gamma$, 其中 $P_g^{+}$ 定义为下面的映射
\[
P_g^{+}=\frac{1}{2}(1+*_g):\ \Omega^2\rightarrow\Omega^{2,+}
\]
证明: $\theta$ 是闭形式当且仅当 $\gamma$ 是闭形式.

7

子流形面积的变分

Posted by gwzhao on 2013-03-16 14:29:29 last update 2013-03-17 21:14:00 | Answers (0) | 收藏

其实我不是想问问题 ,我是想做笔记,请问怎么做笔记在这个网站??\\ 设 $N\subset M$ 是 $m$ 维 Riemann 流形 $M$ 的 $n$ 维子流形,$\nabla$ 是$M$ 上的 Levi-Civita 联络,$\phi :N\times (-\epsilon ,\epsilon)\rightarrow M$ 是 $N$ 的一个单参数形变族,记 $N_t=\phi (N,t)$,且我们要求 $N_0=N$ 以保证 $\phi $ 是一个变分. 设 $X,Y\in \Gamma (TM)$ 是 $M$ 上的光滑向量场,定义 $$-B(X,Y)=\nabla _XY-\nabla ^t_XY$$ 以及 $$H=\mathrm{Tr}B(X,Y)$$ 称作 $N$ 的平均曲率向量. 称作子流形 $N$ 的第二基本形式,其中 $\nabla ^t_XY=(\nabla _XY)^t$ 是 $\nabla _XY$ 的切方向. $N$ 上带有从 $M$ 上诱导得到的 Riemann 度量 $g=\phi ^*\tilde{g}$,这里 $\tilde{g}=g_{ij}dx^idx^j$ 是 $M$ 的 Riemann 度量,而 $\{x^1,\cdots ,x^m\}$ 是 $M$ 的局部坐标系. 现设 $\{x^1,\cdots ,x^n\}$ 是 $N$ 的 $p\in N$ 附近的局部坐标系, 可以考虑 $\{x^1,\cdots ,x^n,t\}$ 是 $(p,0)\in N\times (-\epsilon ,\epsilon)$ 附近的局部坐标系. 令 $e_i=d\phi (\frac{\partial }{\partial x^i})$ 以及 $T=d\phi (\frac{\partial }{\partial t})$. 我们用\r $$J(p,t)=dA_t=\sqrt {g(p,t)}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n$$ 来记 $N_t$ 的面积元,为了求面积的变分,我们来计算 $J$ 对 $t$ 的导数: \begin{equation} \begin{split} J\'(t)&=\frac{\partial }{\partial t}\sqrt {g(p,t)}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n\\ &=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{g(p,t)}}\frac{\partial g(p,t)}{\partial t}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n\\ &=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{g(p,t)}}G_{ij}(p,t)\frac{\partial g_{ij}(p,t)}{\partial t}dx^1\wedge \cdots \wedge dx^n\\ &=\frac{1}{2}g^{ij}(p,t)\frac{\partial g_{ij}(p,t)}{\partial t}J, \end{split} \end{equation} 进而r \begin{equation} \begin{split} J\'=g^{ij}\langle \nabla _Te_i,e_j\rangle J. \end{split} \end{equation} 根据 Levi-Civita 联络的无挠性,则\r \begin{equation} \begin{split} J\'&=g^{ij}\langle \nabla _{e_i}T,e_j\rangle J\\ &=g^{ij}\langle \nabla _{e_i}T^t,e_j\rangle J+g^{ij}\langle \nabla _{e_i}T^n,e_j\rangle J\\ &=\mathrm{div}(T^t)J+g^{ij}e_i\langle \nabla T^n,e_j\rangle J-g^{ij}\langle T^n,\nabla _{e_i}e_j\rangle J\\ &=\mathrm{div}(T^t)J+\langle T^n,H\rangle J . \end{split} \end{equation} 所以面积的第一变分公式为\r \begin{equation} \begin{split} \frac{d}{dt}A(N_t)=\int_N\langle T^n,H\rangle . \end{split} \end{equation} 将 $t=0$ 代入,则得r \begin{equation} \begin{split} \frac{d}{dt}A(N_t)|_{t=0}=\int_N\langle T^n,H\rangle . \end{split} \end{equation} 所以子流形的平均曲率向量为零当且仅当子流形是面积函数的临界点,这样的流形称作极小的.

8

$S^3$ 中 Clifford 球面的球极投影

Posted by haifeng on 2012-04-09 19:20:38 last update 2012-04-09 19:20:38 | Answers (1) | 收藏

证明 $S^3$ 中 Clifford 球面 $S^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\times S^1(\frac{1}{\sqrt{2}})$ 在 $S^3\setminus N$ 到 $\mathbb{R}^3$ 球极投影下的像为

\[(u,v)\mapsto\bigl((\sqrt{2}+\cos u)\cos v, (\sqrt{2}+\cos u)\sin v, \sin u\bigr)\in\mathbb{R}^3\]

即 $\mathbb{R}^3$ 中由位于 xoz 平面内中心在 $(\sqrt{2},0,0)$ 半径为 $1$ 的圆围绕 $z$ 轴旋转一周得到的环面.

9

平坦环面的单射半径

Posted by haifeng on 2011-07-14 08:08:06 last update 2011-07-14 08:08:06 | Answers (0) | 收藏

设 $T^n$ 为平坦环面, $\ell$ 是 $T^n$ 中所有非零伦闭曲线长度的最小值. 则 $\ell/2$ 是 $T^n$ 的单射半径.

10

[Def]紧致可定向黎曼流形的体积形式

Posted by zhangshan on 2011-07-04 10:26:49 last update 2011-07-04 10:26:49 | Answers (0) | 收藏

设 $M$ 是一紧致可定向黎曼流形, 则其体积形式定义为一个 $n$-微分形式 $\nu_M$, 其对每个 $x\in M$, 作用在 $T_x M$ 中的每个可定向标准正交标架上值为 1. 这样的 $\nu_M$ 是唯一的. $M$ 的体积就等于 $\nu_M$ 在 $M$ 上的积分 \[ \text{vol}(M)=\int_M\nu_M. \]
<[1] [2] >

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