问题及解答

二维曲面上一点称为脐点(umbilical points), 如果在这点的局部是 spherical 的, 也就是说这样的点处, 所有方向的法曲率(normal curvatures)都是相等的. 因此, 两个主曲率是相等的, 并且每个切向量都是主方向(principal direction).

对于亏格为 0 的曲面, 比如椭球面, 根据 Poincaré-Hopf 定理, 至少有 4 个脐点.

Open problem

是否欧式空间中每个光滑的拓扑球面至少有两个脐点?

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Umbilical_point