问题及解答

不是所有曲线都可以有理参数化.

例如: 曲线 $x^n+y^n=1$, $n\geqslant 3$ 根据费马大定理, 不存在有理参数化.

双纽线的有理参数化, 参见问题1609.

事实上, 若设 $x=\frac{p(t)}{q(t)}$, $y=\frac{r(t)}{s(t)}$, 这里 $p(t),q(t),r(t),s(t)$ 均是关于参数 $t$ 的多项式, 则代入曲线方程, 得

\[
\biggl[\frac{p(t)}{q(t)}\biggr]^n+\biggl[\frac{r(t)}{s(t)}\biggr]^n=1,
\]

这推出

\[
(p(t)s(t))^n+(r(t)q(t))^n=(q(t)s(t))^n,
\]

于是根据 Fermat 大定理, 上面这个方程是无解的.