证明: 群 $SO(3)$ 同胚于射影空间 $\mathbb{R}P^3$. 请构造微分同胚.

Hint: 将群 $SO(3)$ 的元素表示为空间绕某个轴旋转某个角.

直线段在平面上的位置有几个要素组成. 可以按几种不同的看法来看. 下面我们记 $\Phi$ 为平面上所有直线段的位置所组成的空间.

(1) 设 $A,B\in\mathbb{R}^2$, 我们用 $(A,B)$ 表示从 $A$ 出发到 $B$ 的(有向)线段, 自然 $(A,B)$ 和 $(B,A)$ 表示的是同一线段. 因此在 $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ 中建立等价关系:

\[(A,B)\sim(C,D)\Leftrightarrow A=C,\ B=D;\ \text{或者}\ A=D,\ B=C.\]

于是 $\Phi=\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2/\sim$.

(2) 平面上一条线段也可由一个三元组来刻画, $(A,\theta,r)$. 其中 $A$ 是起始点, $\theta$ 是直线段与平面上取定的某个固定的轴(比如 $x$ 轴)正方向之间的角度, 这里我们认为是 $x$ 轴正方向绕原点旋转直到与该直线段平行所转过的角度, $\theta\in(-\pi,\pi]$. $r$ 是该线段的长度.

当然这种表示法也不是惟一的, 因为线段的两端点都可以作为起始点. 故建立等价关系:

\[(A,\theta,r)\sim(A',\theta',r')\Leftrightarrow A,A'\ \text{为线段的两端点}, \theta'=-\theta,\ r_1=r_2; \text{或者}\ A=A',\ \theta=\theta',\ r=r'.\]

(3) 也可以用点和向量来描述线段的位置. 于是所得到的空间有点像向量丛.

我们用 $(A,\vec{v})$ 来描述线段 $AB$, 其中 $A$ 是起始点, $\vec{v}$ 是起始点至终点决定的向量, 即 $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$. 当然这样的描述也不惟一. 因此也建立等价关系:

\[(A,\vec{v})\sim(B,\vec{w})\Leftrightarrow A=B,\ \vec{v}=\vec{w};\ \text{或者}\ \vec{v}=-\vec{w}=\overrightarrow{AB}.\]

易见, (3) 和 (1) 是等价的. 所不同的是 (3) 可以让我们将 $\Phi$ 想象为一个向量丛. 平面上每一点都有向量“指向外面”, 所有这些“指向外面”的向量的终点都拿过来, 在这一点处形成一个开区域: $\mathbb{R}^2-\overline{B(O,|OA|)}$.

下面请给出这三种模型是光滑流形的证明. 主要是阐述它们能够局部欧氏化.

[Thm] 设 $M$ 是第二可数的 Hausdorff 拓扑空间. 若 $\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$ 是 $M$ 的一个 $C^\infty$ 图汇, 即 $\{V_\beta\}$ 覆盖了 $M$, 且 $\psi_\beta$ 将 $V_\beta$ 同胚到欧氏空间中的某个开集. 并且转换映射 $\psi_\beta\'\circ\psi_\beta^{-1}$ 是 $C^\infty$ 的. 则 $M$ 上存在惟一的光滑结构, 使之是给定图汇的(惟一的)极大化.

Remark.

这个定理告诉我们, 在验证第二可数的 Hausdorff 拓扑空间 $M$ 是光滑流形时, 只要找到一个 $C^\infty$ 图汇即可, 不需要通过极大化手段去得到定义中所要求的极大图汇. 因为该定理明确了存在惟一的光滑结构, 包含了这些开集及相应的映射. 从而简化了验证步骤.

[Def] 设 $M$ 是光滑流形, 如果存在 $M$ 的一个局部坐标系 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma}$, 使得当 $U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$ 时, ($\forall\ \alpha,\beta\in\Gamma$)

\[\text{Jacobian}(\varphi_\beta\circ\varphi_{\alpha}^{-1}) > 0,\]

则称流形 $M$ 是可定向的. 有时也称局部坐标系 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma}$ 为 $M$ 的一个定向.

(1) $S^n$ 是光滑流形已经在问题750中证明. 请通过计算流形图卡之间的转换映射的 Jacobian, 证明 $S^n$ 是可定向流形.

(2) 射影空间 $\mathbb{RP}^n$ 是 $n$ 维光滑流形, 且是实解析流形的证明参见问题750. 证明: $\mathbb{RP}^n$ 当 $n$ 奇数时可定向, $n$ 偶数时不可定向. (也可以采用微分形式的方法证明, 见问题895.)

(3) Klein 瓶是不可定向的.

这里给出一个简单的例子, 对于 $S^2$, 证明其可定向.

回忆问题750的答案中转换映射是这样构造的,

\[\psi\circ\varphi^{-1}:\ \varphi(U\cap V)\rightarrow\psi(U\cap V),\]

其中 $U=S^n-\{N\}$, $V=S^n-\{S\}$, 其中 $N=(0,0,\ldots,0,1)\in\mathbb{R}^{n+1}$, $S=(0,0,\ldots,0,-1)\in\mathbb{R}^{n+1}$, 即球面的南北极点.

\[\psi\circ\varphi^{-1}:\ (y_1,y_2,\ldots,y_n)\mapsto\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}y_i^2}(y_1,y_2,\ldots,y_n).\]

比如对于 $S^2$,

\[(y_1,y_2)\mapsto(\frac{y_1}{y_1^2+y_2^2},\frac{y_2}{y_1^2+y_2^2}),\]

Jacobian 为

\[
J(\psi\circ\varphi^{-1})=
\begin{vmatrix}
\frac{y_2^2-y_1^2}{(y_1^2+y_2^2)^2} & \frac{-2y_1 y_2}{(y_1^2+y_2^2)^2}\\
\frac{-2y_1 y_2}{(y_1^2+y_2^2)^2} & \frac{y_1^2-y_2^2}{(y_1^2+y_2^2)^2}
\end{vmatrix}
=\frac{1}{(y_1^2+y_2^2)^4}\bigl[-(y_1^2-y_2^2)^2-4y_1^2 y_2^2\bigr] < 0.
\]

因此, $S^2$ 是可定向的.

References:

梅加强, 紧黎曼曲面引论 笔记

陈维桓 编著 《微分流形初步》

设 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 为所有 $m\times n$ 的实矩阵集合. 任给 $A=(a_{ij})_{mn},B=(b_{ij})_{mn}\in\mathcal{M}_{mn}(R)$, 定义它们之间的距离为

\[d(A,B):=\|A-B\|=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}(a_{ij}-b_{ij})^2}\]

验证 $d$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 上的一个度量, 由此度量诱导了其上的一个拓扑, 从而成为一个拓扑流形.

用 $\mathcal{M}_{mn}^k(R)$ 表示其中秩大于等于 $k$ 的矩阵子集. 证明 $\mathcal{M}_{mn}^k(R)$ 是 $\mathcal{M}_{mn}(R)$ 中的开集, 从而也是流形.

如半径为 $r$ 的球面 $S^2(r)$ 可用代数方程

\[x^2+y^2+z^2=r^2\]

来描述, 其解 $(x,y,z)$ 的集合(或轨迹)即流形 $S^2(r)$. 其参数方程也很简单,

\[
\begin{cases}
x&=r\sin\varphi\cos\theta,\\
y&=r\sin\varphi\sin\theta,\\
z&=r\cos\varphi.
\end{cases}
\]

其中 $\varphi\in[0,\pi]$, $\theta\in[0,2\pi]$.

求二维环面 $T^2=S^1\times S^1$ 的代数方程或参数方程描述. 并求它的黎曼度量.

考虑集合

\[D=\{(\vec{x},\vec{y})\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\mid \langle\vec{x},\vec{y}\rangle=0,\ \text{且}\ |\vec{x}|=|\vec{y}|=1\},\]

即

\[D=\{(\vec{x},\vec{y})\in S^2\times S^2\mid \langle\vec{x},\vec{y}\rangle=0.\}\]

并定义 $D$ 中元素之间的距离

\[\|(\vec{x},\vec{y})-(\vec{z},\vec{w})\|:=\sqrt{|\vec{x}-\vec{z}|^2+|\vec{y}-\vec{w}|^2}=\|(\vec{x}-\vec{z},\vec{y}-\vec{w})\|\]

首先证明这个度量是定义合理的, 其次证明 $D$ 在该度量诱导的拓扑之下是一个拓扑流形, 并计算它的维数.

Q. 能否将此问题推广?

一个 Hausdorff 空间 $X$, 如果每一点都有一个开邻域与 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 的一个开子集同胚, 就叫 $X$ 为 $n$ 维拓扑流形, 简称流形.

拓扑流形再加上微分结构就称为微分流形. 也就是说, 除了上面的“局部欧氏化”, 还必须满足任两个相交的可欧氏化的开邻域, 其相交部分在两个同胚映射下的转换映射是 $C^r$ 可微的. 即

若 $\varphi: U\rightarrow\varphi(U)\subset\mathbb{E}^n$, $\psi:V\rightarrow\psi(V)\subset\mathbb{E}^n$ 是同胚映射. 则要求

\[
\begin{split}
\psi\circ\varphi^{-1}:&\ \varphi(U\cap V)\rightarrow\psi(U\cap V)\\
\varphi\circ\psi^{-1}:&\ \psi(U\cap V)\rightarrow\varphi(U\cap V)\\
\end{split}
\]

均是 $C^r$ 可微映射.

更严谨的表述要引入图卡和图汇的概念. 设 $M$ 是一个拓扑流形,

[Def 图卡(chart)]上面的 $U$ 连同对应的同胚映射 $\varphi$ 记为 $(U,\varphi)$ 即称为局部坐标图卡(简称图卡).

[Def $C^r$-相容] 各图卡之间如果相交, 相交部分的转换映射是 $C^r$ 的, 则称这两个图卡是 $C^r$-相容的.

[Def 图汇(atlas)] $M$ 的一族图卡 $\mathcal{D}=\{(U,\varphi)\}$ 如果这些开集 $\{U\}$ 覆盖了 $M$, 并且图卡彼此之间是 ($C^r$-)相容的, 则 $\mathcal{D}$ 被称为 $M$ 的一个($C^r$-)图汇.

[Def $C^r$-微分结构] 如果上面的图汇 $\mathcal{D}$ 是极大的, 也即与 $\mathcal{D}$ 中各图卡 $C^r$-相容的图卡均包含于 $\mathcal{D}$, 则称此图汇是 $M$ 的一个 $C^r$-微分结构.

具有 $C^r$-微分结构的拓扑流形称为 ($C^r$-)微分流形, $C^\infty$-流形又称为光滑流形.

证明:

(1) $n$ 维流形 $X$ 的每一点都有一个开邻域同胚于 $\mathbb{E}^n$.

(2) $n$ 维球面 $S^n$ 是 $n$ 维流形.

(3) $n$ 维射影空间 $\mathbb{P}^n$ (或记为 $\mathbb{RP}^n$) 也是 $n$ 维流形.

(4) $\mathbb{R}^n$ 中所有通过原点的 $r$-维子空间构成的集合, 记为 $G(r,n)$. 通过赋予自然拓扑成为一个流形(称为Grassman 流形). 特别地, 当 $r=1$ 时, 即上面的射影空间. 而且 $\mathbb{RP}^2$ 与 $G(2,3)$ 是同胚的.

(5) Klein 瓶是 2 维流形.

(6) 若 $X$ 是 $n$ 维流形, $Y$ 为 $m$ 维流形, 则积空间 $X\times Y$ 为 $n+m$ 维流形. 从而柱面 $S^1\times\mathbb{E}^1$ 与环面 $S^1\times S^1$ 都是 2 维流形.

(7) 设 $X$ 是 $n$ 维流形, $Y$ 为拓扑空间, $f:X\rightarrow Y$ 连续, 则作为积空间 $X\times Y$ 的子空间 $f=\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ 是与 $X$ 同胚的 $n$ 维流形, 特别地, $X\times X$ 的对角线 $\mathrm{id}_X$ 是与 $X$ 同胚的 $n$ 维流形.

(8) 每个 $n$ 维流形都是局部紧的.

(9) 连通的 $n$ 维流形是道路连通的.

(10) $\mathbb{R}^n$ 以及 $\mathbb{R}^n$ 中的开集都是光滑流形. 更一般的, 任何光滑流形的开子集也是光滑流形.

References:

[1] 陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.160

[2] 张筑生 编著 《微分拓扑讲义》

分析: 为什么要约定流形满足第二可数公理.

即定义映射

\[f:D^2\rightarrow X\]