如半径为 $r$ 的球面 $S^2(r)$ 可用代数方程
\[x^2+y^2+z^2=r^2\]
来描述, 其解 $(x,y,z)$ 的集合(或轨迹)即流形 $S^2(r)$. 其参数方程也很简单,
\[
\begin{cases}
x&=r\sin\varphi\cos\theta,\\
y&=r\sin\varphi\sin\theta,\\
z&=r\cos\varphi.
\end{cases}
\]
其中 $\varphi\in[0,\pi]$, $\theta\in[0,2\pi]$.
求二维环面 $T^2=S^1\times S^1$ 的代数方程或参数方程描述. 并求它的黎曼度量.
1
如果 $T^2$ 是嵌入到 3 维欧氏空间 $\mathbb{E}^3$ 中的, 则可以用旋转曲面来描述. 设 $0 < r < a$,
\[(y-a)^2+z^2=r^2,\quad x=0\]
表示在 $yoz$ 平面中的一个以 $(a,0)$ 为中心, $r$ 为半径的圆, 它绕 $z$-轴一周即得环面. 因此环面的方程为
\[(\sqrt{x^2+y^2}-a)^2+z^2=r^2\]
2
嵌入到 $\mathbb{R}^3$ 中的环面, 其参数方程为
\[g(u,v):=\bigl((a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v, b\sin u\bigr)\]
令 $U=[0,2\pi]\times [0,2\pi]$, 定义 $f:\ U\rightarrow T^2\subset\mathbb{R}^3$ 为
\[
(\theta,\phi)\mapsto\bigl((a+b\cos\phi)\cos\theta,(a+b\cos\phi)\sin\theta,b\sin\phi\bigr)
\]
下面我们用两种方法来求环面上的黎曼度量.
(法一)
设 $p$ 是环面上一点. 则 $p=\bigl((a+b\cos\phi)\cos\theta,(a+b\cos\phi)\sin\theta,b\sin\phi\bigr)$, 这里 $\theta\in [0,2\pi]$, $\phi\in [0,2\pi]$.
\[
\begin{aligned}
(E_\theta)_p &=\bigl(-(a+b\cos\phi)\sin\theta,(a+b\cos\phi)\cos\theta,0\bigr)\\
(E_\phi)_p &=\bigl(-b\sin\phi\cos\theta,-b\sin\phi\sin\theta,b\cos\phi\bigr)\\
\end{aligned}
\]
因此,
\[
\begin{aligned}
(g_{\theta\theta})_p &=\langle (E_\theta)_p,(E_\theta)_p\rangle=(a+b\cos\phi)^2\\
(g_{\theta\phi})_p &=\langle (E_\theta)_p,(E_\phi)_p\rangle=0\\
(g_{\phi\phi})_p &=\langle (E_\phi)_p,(E_\phi)_p\rangle=b^2
\end{aligned}
\]
因此
\[
(g_{ij})_{2\times 2}=\begin{pmatrix}
(a+b\cos\phi)^2 & 0\\
0 & b^2
\end{pmatrix}
\]
(法二)
对于映射 $f:\ T^2\rightarrow\mathbb{R}^3$
\[
f(\theta,\phi)=(f^1,f^2,f^3)=\bigl((a+b\cos\phi)\cos\theta,(a+b\cos\phi)\sin\theta,b\sin\phi\bigr)
\]
求微分, 得
\[
\begin{aligned}
df^1 &=-(a+b\cos\phi)\sin\theta d\theta-b\sin\phi\cos\theta d\phi\\
df^2 &=(a+b\cos\phi)\cos\theta d\theta-b\sin\phi\sin\theta d\phi\\
df^3 &=b\cos\phi d\phi
\end{aligned}
\]
因此,
\[
f^*\biggl(\sum_{i=1}^{3}dx^i\otimes dx^i\biggr)=\sum_{i=1}^{3}df^i\otimes df^i=(a+b\cos\phi)^2d\theta\otimes d\theta+b^2 d\phi\otimes d\phi
\]
故
\[
(g_{ij}(\theta,\phi))_{2\times 2}=\begin{pmatrix}
(a+b\cos\phi)^2 & 0\\
0 & b^2
\end{pmatrix}
\]
References:
Wilhelm Klingenberg, A Course in Differential Geometry, GTM 51. P.40