存在这样的拓扑流形的例子, 该拓扑流形上不存在任何相容的微分构造.

利用选择公理证明：

对于任何一个局部坐标覆盖 $\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}$, 均存在一个包含它的“最大”的局部坐标覆盖 $\mathcal{D}$, 使得任何与 $\mathcal{D}$ 均 $C^r$ 相容的局部坐标系 $(U,\varphi)$ 都含于 $\mathcal{D}$ 中.

我们将这样的 $\mathcal{D}$ 称为拓扑流形 $M$ 的一个 $C^r$ 微分构造或微分结构.

如果 $M,N$ 均为 $C^r$ 流形, 则 $M\times N$ 也是 $C^r$ 流形, 且

\[
\dim(M\times N)=\dim M+\dim N.
\]

[Def] 球形三维流形(Spherical 3-manifold)

设 $\Gamma$ 是 $SO(4)$ 的一个有限子群, $SO(4)$ 通过旋转自由地作用在三维球面 $S^3$ 上. 球形三维流形 $M$ 就是指 $S^3$ 在 $\Gamma$ 下的商空间流形, 即

\[M=S^3/\Gamma\]

所有这样的流形都是素的(prime)、可定向和闭的流形.

球形三维流形有时也称为椭圆三维流形(elliptic 3-manifolds) 或 Clifford-Klein 流形.

References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_3-manifold

Spherical 3-manifold - HandWiki

证明: $SO(2,\mathbb{R})\cong S^1$. 同胚于 $O(2,\mathbb{R})$ 的流形是什么?

证明: $\mathbb{R}P^n$ 当 $n$ 是奇数时是可定向的, 偶数时不可定向.

而且 $\mathbb{R}P^n$ 和 $\mathbb{C}P^n$ 都是紧致流形.

其他方法参见问题756.

考虑 $n^2$ 维欧氏空间 $\mathbb{E}^{n^2}$. 将其中的点用 $n$ 阶方阵来表示, 如 $A=(a_{ij})_{n\times n}$. 一般将所有 $m\times n$ 实矩阵组成的空间记为 $\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$. 记

\[\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})=\{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\mid \det A=1\}.\]

证明: $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 是一个群, 并且是 $n^2-1$ 维 $C^\infty$ 流形.

事实上, 它还是一个李群. 参见问题845.

即存在一平凡线丛, 称为 tautological line bundle

\[L=\{(x,tx)\mid x\in S^2,\ t\in\mathbb{R}\}\cong S^2\times\mathbb{R},\]

使得

\[TS^2\oplus L\cong S^2\times\mathbb{R}^3.\]

因此, 对于向量丛的直和, “消去律”(cancellation law) 不再成立.

一般的, $S^n$ 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的切丛和法丛的直和是平凡丛 $S^n\times\mathbb{R}^{n+1}$.

因此, 我们称 $TS^n$ 是 stably trivial 的, 意思是: 在直和上一个平凡丛后变成平凡丛.

参见问题837.

设 $M$ 是一个光滑流形, 记 $\mathfrak{X}(M)$ 是 $M$ 上所有 $C^\infty$ 向量场的集合. 证明:

(1) $\mathfrak{X}(M)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的无穷维向量空间.

(2) $\mathfrak{X}(M)$ 是 $C^\infty(M)$ 上的一个模. 且是局部有限生成的. 即, 对任意一点 $p\in M$, 存在 $p$ 的一个邻域 $V$, 存在 $V$ 上有限个向量场, 生成了 $\mathfrak{X}(V)$ ($\mathfrak{X}(M)$ 在 $V$ 上的限制), 它是 $C^\infty(V)$ 上的一个有限生成模.

References:

William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. P.157, Ex 1.

在数学分析或高等数学的教程中, 对于第二类型的曲线积分, 有积分不依赖于路径选取的充要条件. 这个可以推广到流形上.

[Thm] 设 $\omega$ 是流形 $M$ 上的闭的1-形式, $L_1$ 和 $L_2$ 是 $M$ 上 $p$ 到 $q$ 的两条分段光滑的道路, 并且同伦. 则

\[\int_{L_1}\omega=\int_{L_2}\omega.\]

Remark:

$\omega$ 是闭形式是指 $(d\omega)(p)=0$, $\forall\ p\in M$, 简写为 $d\omega=0$.

如果缺少 $\omega$ 是闭形式这个条件, 则定理不成立. 反例如下: