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问题及解答

证明: $SO(2,\mathbb{R})\cong S^1$.

Posted by haifeng on 2012-08-05 22:43:20 last update 2012-08-05 22:43:20 | Edit | Answers (1)

证明: $SO(2,\mathbb{R})\cong S^1$. 同胚于 $O(2,\mathbb{R})$ 的流形是什么?

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Posted by haifeng on 2012-08-05 23:19:14

\[A\in\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})\Leftrightarrow A^T A=\mathrm{I}_2,\ \text{且}\ \det(A)=1\]

设 $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$, 则

\[\begin{pmatrix}a & c\\ b & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+c^2 & ab+cd\\ ab+cd & b^2+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\]

推出

\[
\begin{cases}
a^2+c^2=1\\
b^2+d^2=1\\
ab+cd=0
\end{cases}
\]

又 $\det(A)=1$, 因此 $ad-bc=1$.

由于 $a^2+c^2=1$, 故不妨设 $a=\cos\theta$, $c=\sin\theta$, $\theta\in[0,2\pi)$. 代入上面的式子, 得

\[
\begin{cases}
b^2+d^2=1& (1)\\
b\cos\theta+d\sin\theta=0&(2)\\
d\cos\theta-b\sin\theta=1&(3)
\end{cases}
\]

$(2)\times\sin\theta+(3)\times\cos\theta$, 得

\[d(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\cos\theta,\]

即, $d=\cos\theta$. 将它代入 (1) 和 (2) 式, 得

\[
\begin{cases}
b^2+\cos^2\theta=1\\
b\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=0\\
\end{cases}
\]

因此, $b=-\sin\theta$. 因此

\[
A=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},\quad\theta\in[0,2\pi).
\]

建立映射 $f:\ \mathrm{SO}(2,\mathbb{R})\rightarrow S^1$ 为

\[
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\mapsto\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}.
\]

显然, $f$ 是一个同胚.