设 $M$ 是一个光滑流形, 记 $\mathfrak{X}(M)$ 是 $M$ 上所有 $C^\infty$ 向量场的集合. 证明:
(1) $\mathfrak{X}(M)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的无穷维向量空间.
(2) $\mathfrak{X}(M)$ 是 $C^\infty(M)$ 上的一个模. 且是局部有限生成的. 即, 对任意一点 $p\in M$, 存在 $p$ 的一个邻域 $V$, 存在 $V$ 上有限个向量场, 生成了 $\mathfrak{X}(V)$ ($\mathfrak{X}(M)$ 在 $V$ 上的限制), 它是 $C^\infty(V)$ 上的一个有限生成模.
References:
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. P.157, Ex 1.
1
(1) 设 $V,W\in\mathfrak{X}(M)$, 则对于任意 $a,b\in\mathbb{R}$, $aV+bW$ 仍是 $M$ 上的光滑向量场. 而且, 对任意 $f,g\in C^\infty(M)$, $fV+gW$ 仍是 $M$ 上的光滑向量场. 因此,
$\mathfrak{X}(M)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间, 且是 $C^\infty(M)$ 上的一个模.
作为 $\mathbb{R}$ 上的向量空间, $\mathfrak{X}(M)$ 是无穷维的. 这是因为在流形 $M$ 上可以取无穷多个点, 不妨取可列个 $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots.$ 每个点取一个很小的邻域 $U_i$, 彼此互不相交. 在这些点处任取向量 $v_i$, 从而存在光滑向量场 $V$, 使得 $V|_{x_j}=v_j$, $\forall\ j=1,2,\ldots$
不同点列的选取可存在彼此线性独立的向量场, 即使是同一点列, 就如刚才的 $\{x_i\}_{i=1}^{\infty}$, 也可存在线性独立的向量场 $V_1$ 和 $V_2$, 使得 $V_1|_{x_j}=V_2|_{x_j}$.
因此 $\mathfrak{X}(M)$ 是 $\mathbb{R}$ 上无穷维的线性空间.
(2) 但 $\mathfrak{X}(M)$ 作为 $C^\infty(M)$ 上的模, 则是局部有限生成的.
回忆有限生成模的定义:
设 $R$ 为环, 若左 $R$-模 $M$ 中存在有限个元素 $m_1,m_2,\ldots,m_k$, 使得 $M=Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k$, 则称 $M$ 为有限生成模.
对于右 $R$-模, 类似定义. 有限维向量空间是其特例.
http://zh.wikipedia.org/wiki/有限生成
现在对于 $n$ 维流形 $M$, 任取一点 $p\in M$, 存在邻域 $U_p$, 使得 $U_p\cong\mathbb{E}^n$. 取 $U_p$ 上的单位向量场 $\mathbf{e_i}$, $i=1,2,\ldots,n$. 于是
\[\mathfrak{X}(U_p)=C^\infty(U_p)\mathbf{e_1}+\cdots+C^\infty(U_p)\mathbf{e_n}.\]