问题及解答

利用选择公理证明：

对于任何一个局部坐标覆盖 $\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}$, 均存在一个包含它的“最大”的局部坐标覆盖 $\mathcal{D}$, 使得任何与 $\mathcal{D}$ 均 $C^r$ 相容的局部坐标系 $(U,\varphi)$ 都含于 $\mathcal{D}$ 中.

我们将这样的 $\mathcal{D}$ 称为拓扑流形 $M$ 的一个 $C^r$ 微分构造或微分结构.

对于局部坐标覆盖 $\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}$, 令

\[
\mathcal{D}:=\{(U,\varphi)\mid (U,\varphi) \text{与}\ \{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\} C^r\ \text{相容}\}.
\]

显然 $\mathcal{D}$ 满足:

与 $\mathcal{D}$ 中各图卡 $C^r$ 相容的图卡都属于 $\mathcal{D}$.

否则, 若存在图卡 $(V,\psi)$ 与 $\mathcal{D}$ $C^r$ 相容, 但不属于 $\mathcal{D}$. 也就是说存在 $(U,\varphi)\in\mathcal{D}$, $U\cap V\neq\emptyset$,  使得 $(V,\psi)$ 与 $(U,\varphi)$ 不是 $C^r$ 相容. 但是 $(U,\varphi)$ 与 $\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}$ 是 $C^r$ 相容的. 因此存在 $\alpha_0$, 使得 $(V,\psi)$ 与 $(U_{\alpha_0},\varphi_{\alpha_0})$ 不是 $C^r$ 相容. 矛盾.

注: 这里存在 $\alpha_0$, 就已经用到了选择公理.