问题

利用选择公理证明：

对于任何一个局部坐标覆盖 $\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\}$, 均存在一个包含它的“最大”的局部坐标覆盖 $\mathcal{D}$, 使得任何与 $\mathcal{D}$ 均 $C^r$ 相容的局部坐标系 $(U,\phi )$ 都含于 $\mathcal{D}$ 中.

我们将这样的 $\mathcal{D}$ 称为拓扑流形 $M$ 的一个 $C^r$ 微分构造或微分结构.