考虑 $n^2$ 维欧氏空间 $\mathbb{E}^{n^2}$. 将其中的点用 $n$ 阶方阵来表示, 如 $A=(a_{ij})_{n\times n}$. 一般将所有 $m\times n$ 实矩阵组成的空间记为 $\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$. 记
\[\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})=\{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\mid \det A=1\}.\]
证明: $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 是一个群, 并且是 $n^2-1$ 维 $C^\infty$ 流形.
事实上, 它还是一个李群. 参见问题845.
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我们将 $n$ 阶实方阵看成 $\mathbb{R}^{n^2}$ 中的点, $n$ 阶实方阵全体 $\mathcal{M}_{n\times n}$ 等同于 $\mathbb{R}^{n^2}$, 考虑函数
\[
f:\ \mathcal{M}_{n\times n}\rightarrow\mathbb{R},\quad f(A)=\det(A).
\]
根据行列式的定义, $f$ 为光滑映射. 我们来说明 $f$ 在 $SL(n,\mathbb{R})=f^{-1}(1)$ 上秩为 1. 事实上, 记 $E_{ij}(1\leqslant i,j\leqslant n)$ 为在 $(i,j)$ 位置为 1, 其它位置为 0 的 $n$ 阶方阵. $E_{ij}$ 可视为 $\mathbb{R}^{n^2}$ 中的一个单位向量, 沿 $E_{ij}$ 求多元函数 $f$ 的偏导数如下:
\[
\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial E_{ij}}(A)&=\frac{d}{dt}\biggr|_{t=0}\det(A+tE_{ij})\\
&=\frac{d}{dt}\biggr|_{t=0}\bigl[a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+(a_{ij}+t)A_{ij}+\cdots+a_{in}A_{in}\bigr]\\
&=A_{ij},
\end{split}
\]
其中 $A_{ij}$ 是矩阵 $A$ 在 $(i,j)$ 位置的代数余子式. (注意 $A+tE_{ij}$ 在 $(i,k)$ 处的代数余子式仍是 $A_{ik}$.)
因此, 如果 $\det A\neq 0$, 则上述偏导数不全为零. 特别的, $f$ 在 $SL(n,\mathbb{R})$ 上的秩为 1. 因此根据常秩映射定理(参见问题1617),
$SL(n,\mathbb{R})$ 是维数为 $n^2-1$ 的正则子流形.
References:
梅加强, 《流形与几何初步》P.14, 例 1.2.9