问题及解答

如果 $M,N$ 均为 $C^r$ 流形, 则 $M\times N$ 也是 $C^r$ 流形, 且

\[
\dim(M\times N)=\dim M+\dim N.
\]

设 $\{(U_{\alpha},\varphi_\alpha)\}$ 和 $\{(V_{\beta},\psi_\beta)\}$ 分别为 $M$ 和 $N$ 上的局部坐标覆盖. 定义

\[
\begin{array}{rcl}
\Phi_{\alpha\beta}:\ U_\alpha\times V_\beta &\rightarrow &\phi_{\alpha}(U_\alpha)\times\psi_{\beta}(V_\beta)\\
(x,y)&\mapsto & (\phi_{\alpha}(x),\psi_{\beta}(y))
\end{array}
\]

于是 $\Phi_{\alpha\beta}$ 是一个微分同胚.

当 $(U_\alpha\times V_\beta)\cap(U_{\alpha'}\times V_{\beta'})\neq\emptyset$ 时, 此等价于 $(U_\alpha\cap U_{\alpha'})\times(V_{\beta}\cap V_{\beta'})\neq\emptyset$, 必有 $U_\alpha\cap U_{\alpha'}\neq\emptyset$ 和 $V_\beta\cap V_{\beta'}\neq\emptyset$. 此时

\[
\varphi_{\alpha'}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}:\ \varphi_{\alpha}(U_\alpha\cap U_{\alpha'})\rightarrow\varphi_{\alpha}(U_\alpha\cap U_{\alpha'})
\]

\[
\psi_{\beta'}\circ\psi_{\beta}^{-1}:\ \psi_{\beta}(V_\beta\cap V_{\beta'})\rightarrow\psi_{\beta}(V_\beta\cap V_{\beta'})
\]

都是 $C^r$ 映射. 因此,

\[
\Phi_{\alpha'\beta'}\circ\Phi_{\alpha\beta}^{-1}=(\varphi_{\alpha'},\psi_{\beta'})\circ(\varphi_{\alpha},\psi_{\beta'})^{-1}=(\varphi_{\alpha'}\circ\varphi_{\alpha}^{-1},\psi_{\beta'}\circ\psi_{\beta'}^{-1})
\]

也是 $C^r$ 映射.

故 $M\times N$ 也是 $C^r$ 流形. 并且在局部坐标下, 可以看到 $M\times N$ 局部同胚于 $m+n$ 维欧氏空间. 因此其维数为 $m+n$.